MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gicen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gicen 17543
Description: Isomorphic groups have equinumerous base sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gicen.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
gicen.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
gicen (𝑅𝑔 𝑆𝐵𝐶)

Proof of Theorem gicen
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 17534 . 2 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 3890 . . 3 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
3 gicen.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 gicen.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑆)
53, 4gimf1o 17528 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)
6 fvex 6113 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
73, 6eqeltri 2684 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
87f1oen 7862 . . . . 5 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝐵𝐶)
95, 8syl 17 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐵𝐶)
109exlimiv 1845 . . 3 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐵𝐶)
112, 10sylbi 206 . 2 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ → 𝐵𝐶)
121, 11sylbi 206 1 (𝑅𝑔 𝑆𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173  c0 3874   class class class wbr 4583  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  cen 7838  Basecbs 15695   GrpIso cgim 17522  𝑔 cgic 17523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-en 7842  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-gic 17525
This theorem is referenced by:  cyggic  19740  sconpi1  30475
  Copyright terms: Public domain W3C validator