Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipwss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fipwss 8218
 Description: If a set is a family of subsets of some base set, then so is its finite intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipwss (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem fipwss
StepHypRef Expression
1 fiuni 8217 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (fi‘𝐴))
21sseq1d 3595 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ( 𝐴𝑋 (fi‘𝐴) ⊆ 𝑋))
3 sspwuni 4547 . . . 4 (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 𝐴𝑋)
4 sspwuni 4547 . . . 4 ((fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋 (fi‘𝐴) ⊆ 𝑋)
52, 3, 43bitr4g 302 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋))
65biimpa 500 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
7 fvprc 6097 . . . 4 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = ∅)
8 0ss 3924 . . . 4 ∅ ⊆ 𝒫 𝑋
97, 8syl6eqss 3618 . . 3 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
109adantr 480 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
116, 10pm2.61ian 827 1 (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372  ‘cfv 5804  ficfi 8199 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200 This theorem is referenced by:  fsubbas  21481
 Copyright terms: Public domain W3C validator