MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipwss Structured version   Unicode version

Theorem fipwss 7677
Description: If a set is a family of subsets of some base set, then so is its finite intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipwss  |-  ( A 
C_  ~P X  ->  ( fi `  A )  C_  ~P X )

Proof of Theorem fipwss
StepHypRef Expression
1 fiuni 7676 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  U. A  =  U. ( fi `  A ) )
21sseq1d 3381 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( U. A  C_  X  <->  U. ( fi `  A )  C_  X ) )
3 sspwuni 4254 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~P X  <->  U. A  C_  X )
4 sspwuni 4254 . . . 4  |-  ( ( fi `  A ) 
C_  ~P X  <->  U. ( fi `  A )  C_  X )
52, 3, 43bitr4g 288 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  C_  ~P X  <->  ( fi `  A )  C_  ~P X ) )
65biimpa 484 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A  C_  ~P X )  ->  ( fi `  A )  C_  ~P X )
7 fvprc 5683 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  =  (/) )
8 0ss 3664 . . . 4  |-  (/)  C_  ~P X
97, 8syl6eqss 3404 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( fi `  A ) 
C_  ~P X )
109adantr 465 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  _V  /\  A  C_  ~P X
)  ->  ( fi `  A )  C_  ~P X )
116, 10pm2.61ian 788 1  |-  ( A 
C_  ~P X  ->  ( fi `  A )  C_  ~P X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1756   _Vcvv 2970    C_ wss 3326   (/)c0 3635   ~Pcpw 3858   U.cuni 4089   ` cfv 5416   ficfi 7658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-fin 7312  df-fi 7659
This theorem is referenced by:  fsubbas  19438
  Copyright terms: Public domain W3C validator