Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellimits Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellimits 31187
 Description: Membership in the class of all limit ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
ellimits.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ellimits (𝐴 Limits ↔ Lim 𝐴)

Proof of Theorem ellimits
StepHypRef Expression
1 df-limits 31136 . . 3 Limits = ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅})
21eleq2i 2680 . 2 (𝐴 Limits 𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}))
3 eldif 3550 . 2 (𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}))
4 3anan32 1043 . . 3 ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴) ↔ ((Ord 𝐴𝐴 = 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
5 df-lim 5645 . . 3 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴))
6 elin 3758 . . . . 5 (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 Fix Bigcup ))
7 ellimits.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
87elon 5649 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴)
97elfix 31180 . . . . . . 7 (𝐴 Fix Bigcup 𝐴 Bigcup 𝐴)
107brbigcup 31175 . . . . . . 7 (𝐴 Bigcup 𝐴 𝐴 = 𝐴)
11 eqcom 2617 . . . . . . 7 ( 𝐴 = 𝐴𝐴 = 𝐴)
129, 10, 113bitri 285 . . . . . 6 (𝐴 Fix Bigcup 𝐴 = 𝐴)
138, 12anbi12i 729 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴𝐴 = 𝐴))
146, 13bitri 263 . . . 4 (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴𝐴 = 𝐴))
157elsn 4140 . . . . 5 (𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 = ∅)
1615necon3bbii 2829 . . . 4 𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 ≠ ∅)
1714, 16anbi12i 729 . . 3 ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ ((Ord 𝐴𝐴 = 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
184, 5, 173bitr4ri 292 . 2 ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ Lim 𝐴)
192, 3, 183bitri 285 1 (𝐴 Limits ↔ Lim 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {csn 4125  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  Ord word 5639  Oncon0 5640  Lim wlim 5641   Bigcup cbigcup 31110   Fix cfix 31111   Limits climits 31112 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-symdif 3806  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fo 5810  df-fv 5812  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-txp 31130  df-bigcup 31134  df-fix 31135  df-limits 31136 This theorem is referenced by:  dfom5b  31189  dfrdg4  31228
 Copyright terms: Public domain W3C validator