Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellimits Structured version   Unicode version

Theorem ellimits 30682
Description: Membership in the class of all limit ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
ellimits.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ellimits  |-  ( A  e.  Limits 
<->  Lim  A )

Proof of Theorem ellimits
StepHypRef Expression
1 df-limits 30631 . . 3  |-  Limits  =  ( ( On  i^i  Fix Bigcup )  \  { (/) } )
21eleq2i 2499 . 2  |-  ( A  e.  Limits 
<->  A  e.  ( ( On  i^i  Fix Bigcup ) 
\  { (/) } ) )
3 eldif 3446 . 2  |-  ( A  e.  ( ( On 
i^i  Fix Bigcup )  \  { (/)
} )  <->  ( A  e.  ( On  i^i  Fix Bigcup )  /\  -.  A  e. 
{ (/) } ) )
4 3anan32 994 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  A  =/=  (/)  /\  A  = 
U. A )  <->  ( ( Ord  A  /\  A  = 
U. A )  /\  A  =/=  (/) ) )
5 df-lim 5447 . . 3  |-  ( Lim 
A  <->  ( Ord  A  /\  A  =/=  (/)  /\  A  =  U. A ) )
6 elin 3649 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( On  i^i  Fix Bigcup )  <->  ( A  e.  On  /\  A  e. 
Fix Bigcup ) )
7 ellimits.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
87elon 5451 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  <->  Ord  A )
97elfix 30675 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Fix Bigcup  <->  A Bigcup A )
107brbigcup 30670 . . . . . . 7  |-  ( A
Bigcup A  <->  U. A  =  A )
11 eqcom 2431 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  A  <->  A  =  U. A )
129, 10, 113bitri 274 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fix Bigcup  <->  A  =  U. A )
138, 12anbi12i 701 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  A  e.  Fix Bigcup )  <->  ( Ord  A  /\  A  =  U. A ) )
146, 13bitri 252 . . . 4  |-  ( A  e.  ( On  i^i  Fix Bigcup )  <->  ( Ord  A  /\  A  =  U. A ) )
157elsnc 4022 . . . . 5  |-  ( A  e.  { (/) }  <->  A  =  (/) )
1615necon3bbii 2681 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  { (/) }  <-> 
A  =/=  (/) )
1714, 16anbi12i 701 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
i^i  Fix Bigcup )  /\  -.  A  e.  { (/) } )  <-> 
( ( Ord  A  /\  A  =  U. A )  /\  A  =/=  (/) ) )
184, 5, 173bitr4ri 281 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
i^i  Fix Bigcup )  /\  -.  A  e.  { (/) } )  <->  Lim  A )
192, 3, 183bitri 274 1  |-  ( A  e.  Limits 
<->  Lim  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   _Vcvv 3080    \ cdif 3433    i^i cin 3435   (/)c0 3761   {csn 3998   U.cuni 4219   class class class wbr 4423   Ord word 5441   Oncon0 5442   Lim wlim 5443   Bigcupcbigcup 30605   Fixcfix 30606   Limitsclimits 30607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-symdif 3693  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fo 5607  df-fv 5609  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-txp 30625  df-bigcup 30629  df-fix 30630  df-limits 30631
This theorem is referenced by:  dfom5b  30684  dfrdg4  30723
  Copyright terms: Public domain W3C validator