Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmmcand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmmcand 38469
Description: Cancellation law for division and multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dmmcand.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dmmcand.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
dmmcand.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
dmmcand.bn0 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
dmmcand (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · 𝐶))

Proof of Theorem dmmcand
StepHypRef Expression
1 dmmcand.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 dmmcand.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 dmmcand.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
42, 3mulcld 9939 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
5 dmmcand.bn0 . . 3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
61, 2, 4, 5div32d 10703 . 2 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · ((𝐵 · 𝐶) / 𝐵)))
73, 2, 5divcan3d 10685 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) / 𝐵) = 𝐶)
87oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → (𝐴 · ((𝐵 · 𝐶) / 𝐵)) = (𝐴 · 𝐶))
9 eqidd 2611 . 2 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
106, 8, 93eqtrd 2648 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820   / cdiv 10563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564
This theorem is referenced by:  dvnprodlem2  38837
  Copyright terms: Public domain W3C validator