Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffin7-2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dffin7-2 9103
 Description: Class form of isfin7-2 9101. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dffin7-2 FinVII = (Fin ∪ (V ∖ dom card))

Proof of Theorem dffin7-2
StepHypRef Expression
1 imor 427 . . 3 ((𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑥 ∈ dom card ∨ 𝑥 ∈ Fin))
2 vex 3176 . . . 4 𝑥 ∈ V
3 isfin7-2 9101 . . . 4 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ FinVII ↔ (𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ Fin)))
42, 3ax-mp 5 . . 3 (𝑥 ∈ FinVII ↔ (𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ Fin))
5 elun 3715 . . . 4 (𝑥 ∈ (Fin ∪ (V ∖ dom card)) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∨ 𝑥 ∈ (V ∖ dom card)))
6 orcom 401 . . . 4 ((𝑥 ∈ Fin ∨ 𝑥 ∈ (V ∖ dom card)) ↔ (𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ∨ 𝑥 ∈ Fin))
7 eldif 3550 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom card))
82, 7mpbiran 955 . . . . 5 (𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom card)
98orbi1i 541 . . . 4 ((𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ∨ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑥 ∈ dom card ∨ 𝑥 ∈ Fin))
105, 6, 93bitri 285 . . 3 (𝑥 ∈ (Fin ∪ (V ∖ dom card)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ dom card ∨ 𝑥 ∈ Fin))
111, 4, 103bitr4i 291 . 2 (𝑥 ∈ FinVII𝑥 ∈ (Fin ∪ (V ∖ dom card)))
1211eqriv 2607 1 FinVII = (Fin ∪ (V ∖ dom card))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538  dom cdm 5038  Fincfn 7841  cardccrd 8644  FinVIIcfin7 8989 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-fin7 8996 This theorem is referenced by:  dfacfin7  9104
 Copyright terms: Public domain W3C validator