MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffin7-2 Structured version   Unicode version

Theorem dffin7-2 8835
Description: Class form of isfin7-2 8833. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dffin7-2  |- FinVII  =  ( Fin 
u.  ( _V  \  dom  card ) )

Proof of Theorem dffin7-2
StepHypRef Expression
1 imor 413 . . 3  |-  ( ( x  e.  dom  card  ->  x  e.  Fin )  <->  ( -.  x  e.  dom  card 
\/  x  e.  Fin ) )
2 vex 3083 . . . 4  |-  x  e. 
_V
3 isfin7-2 8833 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e. FinVII 
<->  ( x  e.  dom  card 
->  x  e.  Fin ) ) )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  ( x  e. FinVII  <-> 
( x  e.  dom  card 
->  x  e.  Fin ) )
5 elun 3606 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Fin  u.  ( _V  \  dom  card ) )  <->  ( x  e.  Fin  \/  x  e.  ( _V  \  dom  card ) ) )
6 orcom 388 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Fin  \/  x  e.  ( _V  \  dom  card ) )  <->  ( x  e.  ( _V  \  dom  card )  \/  x  e. 
Fin ) )
7 eldif 3446 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( _V  \  dom  card )  <->  ( x  e.  _V  /\  -.  x  e.  dom  card ) )
82, 7mpbiran 926 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( _V  \  dom  card )  <->  -.  x  e.  dom  card )
98orbi1i 522 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( _V 
\  dom  card )  \/  x  e.  Fin )  <->  ( -.  x  e.  dom  card 
\/  x  e.  Fin ) )
105, 6, 93bitri 274 . . 3  |-  ( x  e.  ( Fin  u.  ( _V  \  dom  card ) )  <->  ( -.  x  e.  dom  card  \/  x  e.  Fin )
)
111, 4, 103bitr4i 280 . 2  |-  ( x  e. FinVII  <-> 
x  e.  ( Fin 
u.  ( _V  \  dom  card ) ) )
1211eqriv 2418 1  |- FinVII  =  ( Fin 
u.  ( _V  \  dom  card ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    = wceq 1437    e. wcel 1872   _Vcvv 3080    \ cdif 3433    u. cun 3434   dom cdm 4853   Fincfn 7580   cardccrd 8377  FinVIIcfin7 8721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6707  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-card 8381  df-fin7 8728
This theorem is referenced by:  dfacfin7  8836
  Copyright terms: Public domain W3C validator