MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffin7-2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dffin7-2 8846
Description: Class form of isfin7-2 8844. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dffin7-2  |- FinVII  =  ( Fin 
u.  ( _V  \  dom  card ) )

Proof of Theorem dffin7-2
StepHypRef Expression
1 imor 419 . . 3  |-  ( ( x  e.  dom  card  ->  x  e.  Fin )  <->  ( -.  x  e.  dom  card 
\/  x  e.  Fin ) )
2 vex 3034 . . . 4  |-  x  e. 
_V
3 isfin7-2 8844 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e. FinVII 
<->  ( x  e.  dom  card 
->  x  e.  Fin ) ) )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  ( x  e. FinVII  <-> 
( x  e.  dom  card 
->  x  e.  Fin ) )
5 elun 3565 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Fin  u.  ( _V  \  dom  card ) )  <->  ( x  e.  Fin  \/  x  e.  ( _V  \  dom  card ) ) )
6 orcom 394 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Fin  \/  x  e.  ( _V  \  dom  card ) )  <->  ( x  e.  ( _V  \  dom  card )  \/  x  e. 
Fin ) )
7 eldif 3400 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( _V  \  dom  card )  <->  ( x  e.  _V  /\  -.  x  e.  dom  card ) )
82, 7mpbiran 932 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( _V  \  dom  card )  <->  -.  x  e.  dom  card )
98orbi1i 529 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( _V 
\  dom  card )  \/  x  e.  Fin )  <->  ( -.  x  e.  dom  card 
\/  x  e.  Fin ) )
105, 6, 93bitri 279 . . 3  |-  ( x  e.  ( Fin  u.  ( _V  \  dom  card ) )  <->  ( -.  x  e.  dom  card  \/  x  e.  Fin )
)
111, 4, 103bitr4i 285 . 2  |-  ( x  e. FinVII  <-> 
x  e.  ( Fin 
u.  ( _V  \  dom  card ) ) )
1211eqriv 2468 1  |- FinVII  =  ( Fin 
u.  ( _V  \  dom  card ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388   dom cdm 4839   Fincfn 7587   cardccrd 8387  FinVIIcfin7 8732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-fin7 8739
This theorem is referenced by:  dfacfin7  8847
  Copyright terms: Public domain W3C validator