Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme0ex2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme0ex2N 34529
 Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Note that (𝑃 ∨ 𝑢) = (𝑄 ∨ 𝑢) is a shorter way to express 𝑢 ≠ 𝑃 ∧ 𝑢 ≠ 𝑄 ∧ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄). (Contributed by NM, 9-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme0.l = (le‘𝐾)
cdleme0.j = (join‘𝐾)
cdleme0.m = (meet‘𝐾)
cdleme0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme0.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme0ex2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑢𝐴 ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ∧ 𝑢 𝑊))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,   𝑢,   𝑢,𝑃   𝑢,𝑄   𝑢,𝑈   𝑢,𝑊   𝑢,𝐻   𝑢,𝐾
Allowed substitution hint:   (𝑢)

Proof of Theorem cdleme0ex2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2l 1080 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp2rl 1123 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑄𝐴)
4 simp3 1056 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝑄)
5 cdleme0.l . . . 4 = (le‘𝐾)
6 cdleme0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
7 cdleme0.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
8 cdleme0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 cdleme0.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdleme0.u . . . 4 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
115, 6, 7, 8, 9, 10cdleme0ex1N 34528 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑢 𝑊))
121, 2, 3, 4, 11syl121anc 1323 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑢 𝑊))
13 simp11l 1165 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
14 hlcvl 33664 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝐾 ∈ CvLat)
16 simp2ll 1121 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝐴)
17163ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑃𝐴)
1833ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑄𝐴)
19 simp2 1055 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑢𝐴)
20 simp13 1086 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑃𝑄)
218, 5, 6cvlsupr2 33648 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑢𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ↔ (𝑢𝑃𝑢𝑄𝑢 (𝑃 𝑄))))
2215, 17, 18, 19, 20, 21syl131anc 1331 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ↔ (𝑢𝑃𝑢𝑄𝑢 (𝑃 𝑄))))
23 simp3 1056 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑢 𝑊)
24 simp2lr 1122 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ 𝑃 𝑊)
25243ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → ¬ 𝑃 𝑊)
26 nbrne2 4603 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 𝑊 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) → 𝑢𝑃)
2723, 25, 26syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑢𝑃)
28 simp2rr 1124 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ 𝑄 𝑊)
29283ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → ¬ 𝑄 𝑊)
30 nbrne2 4603 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 𝑊 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) → 𝑢𝑄)
3123, 29, 30syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑢𝑄)
3227, 31jca 553 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → (𝑢𝑃𝑢𝑄))
3332biantrurd 528 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → (𝑢 (𝑃 𝑄) ↔ ((𝑢𝑃𝑢𝑄) ∧ 𝑢 (𝑃 𝑄))))
34 df-3an 1033 . . . . . . 7 ((𝑢𝑃𝑢𝑄𝑢 (𝑃 𝑄)) ↔ ((𝑢𝑃𝑢𝑄) ∧ 𝑢 (𝑃 𝑄)))
3533, 34syl6rbbr 278 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → ((𝑢𝑃𝑢𝑄𝑢 (𝑃 𝑄)) ↔ 𝑢 (𝑃 𝑄)))
3622, 35bitrd 267 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ↔ 𝑢 (𝑃 𝑄)))
37363expia 1259 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴) → (𝑢 𝑊 → ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ↔ 𝑢 (𝑃 𝑄))))
3837pm5.32rd 670 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴) → (((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ∧ 𝑢 𝑊) ↔ (𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑢 𝑊)))
3938rexbidva 3031 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (∃𝑢𝐴 ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ∧ 𝑢 𝑊) ↔ ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑢 𝑊)))
4012, 39mpbird 246 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑢𝐴 ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ∧ 𝑢 𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  lecple 15775  joincjn 16767  meetcmee 16768  Atomscatm 33568  CvLatclc 33570  HLchlt 33655  LHypclh 34288 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-lhyp 34292 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator