Theorem 2polssN 34219

Description: A set of atoms is a subset of its double polarity. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polssN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem 2polssN

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlclat 33663	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2	1	ad3antrrr 762	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ CLat)
3		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑋)
4		simpllr 795	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
5		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		2polss.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atssbase 33595	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
8	4, 7	syl6ss 3580	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
9		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
11	5, 9, 10	lubel 16945	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋))
12	2, 3, 8, 11	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋))
13	12	ex 449	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∈ 𝑋 → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)))
14	13	ss2rabdv 3646	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ∈ 𝑋} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
15		dfin5 3548	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑋) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ∈ 𝑋}
16		sseqin2 3779	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝑋) = 𝑋)
17	16	biimpi 205	. . . 4 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ 𝑋) = 𝑋)
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝑋) = 𝑋)
19	15, 18	syl5reqr 2659	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ∈ 𝑋})
20		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
21		2polss.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
22	10, 6, 20, 21	2polvalN 34218	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
23		sstr 3576	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
24	7, 23	mpan2 703	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
25	5, 10	clatlubcl 16935	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
26	1, 24, 25	syl2an 493	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
27	5, 9, 6, 20	pmapval 34061	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
28	26, 27	syldan 486	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
29	22, 28	eqtrd 2644	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
30	14, 19, 29	3sstr4d 3611	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  lubclub 16765  CLatccla 16930  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  pmapcpmap 33801  ⊥_𝑃cpolN 34206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-undef 7286  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-pmap 33808  df-polarityN 34207

This theorem is referenced by:  polcon2N  34223  pclss2polN  34225  sspmaplubN  34229  paddunN  34231  pnonsingN  34237  osumcllem1N  34260  osumcllem11N  34270  pexmidN  34273