Theorem atssbase 33595

Description: The set of atoms is a subset of the base set. (atssch 28586 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atombase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atombase.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atssbase	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem atssbase

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atombase.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		atombase.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atbase 33594	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3572	1 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1475   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  Atomscatm 33568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ats 33572

This theorem is referenced by:  atlatmstc  33624  atlatle  33625  pmapssbaN  34064  pmaple  34065  polsubN  34211  2polvalN  34218  2polssN  34219  3polN  34220  2pmaplubN  34230  paddunN  34231  poldmj1N  34232  pnonsingN  34237  ispsubcl2N  34251  psubclinN  34252  paddatclN  34253  polsubclN  34256  poml4N  34257