Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psubclinN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psubclinN 34252
 Description: The intersection of two closed subspaces is closed. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psubclin.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
psubclinN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → (𝑋𝑌) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem psubclinN
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝐾 ∈ HL)
2 hlclat 33663 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
323ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝐾 ∈ CLat)
4 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5 psubclin.c . . . . . . . 8 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
64, 5psubclssatN 34245 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
763adant3 1074 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
8 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
98, 4atssbase 33595 . . . . . 6 (Atoms‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
107, 9syl6ss 3580 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
11 eqid 2610 . . . . . 6 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
128, 11clatlubcl 16935 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
133, 10, 12syl2anc 691 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
144, 5psubclssatN 34245 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
15143adant2 1073 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
1615, 9syl6ss 3580 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾))
178, 11clatlubcl 16935 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
183, 16, 17syl2anc 691 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
19 eqid 2610 . . . . 5 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
20 eqid 2610 . . . . 5 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
218, 19, 4, 20pmapmeet 34077 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
221, 13, 18, 21syl3anc 1318 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
2311, 20, 5pmapidclN 34246 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
24233adant3 1074 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
2511, 20, 5pmapidclN 34246 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)) = 𝑌)
26253adant2 1073 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)) = 𝑌)
2724, 26ineq12d 3777 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋𝑌))
2822, 27eqtrd 2644 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋𝑌))
29 hllat 33668 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
30293ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝐾 ∈ Lat)
318, 19latmcl 16875 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
3230, 13, 18, 31syl3anc 1318 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
338, 20, 5pmapsubclN 34250 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ 𝐶)
341, 32, 33syl2anc 691 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ 𝐶)
3528, 34eqeltrrd 2689 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → (𝑋𝑌) ∈ 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lubclub 16765  meetcmee 16768  Latclat 16868  CLatccla 16930  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  pmapcpmap 33801  PSubClcpscN 34238 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-undef 7286  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-pmap 33808  df-polarityN 34207  df-psubclN 34239 This theorem is referenced by:  osumcllem9N  34268
 Copyright terms: Public domain W3C validator