Theorem 2lplnmN 33863

Description: If the join of two lattice planes covers one of them, their meet is a lattice line. (Contributed by NM, 30-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lplnm.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2lplnm.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2lplnm.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
2lplnm.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2lplnm.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2lplnmN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁)

Proof of Theorem 2lplnmN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1059	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
2		simpl1 1057	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
3		hllat 33668	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
4		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		2lplnm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
6	4, 5	lplnbase 33838	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
7	4, 5	lplnbase 33838	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8		2lplnm.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	4, 8	latmcl 16875	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
10	3, 6, 7, 9	syl3an 1360	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
12	7	3ad2ant3 1077	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
14		simp1 1054	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
15	6	3ad2ant2 1076	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
16		2lplnm.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
17		2lplnm.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
18	4, 16, 8, 17	cvrexch 33724	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))
19	14, 15, 12, 18	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))
20	19	biimpar 501	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌)
21		2lplnm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
22	4, 17, 21, 5	llncvrlpln 33862	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
23	2, 11, 13, 20, 22	syl31anc 1321	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
24	1, 23	mpbird 246	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  joincjn 16767  meetcmee 16768  Latclat 16868   ⋖ ccvr 33567  HLchlt 33655  LLinesclln 33795  LPlanesclpl 33796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803

This theorem is referenced by: (None)