Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrexch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrexch 33724
Description: A Hilbert lattice satisfies the exchange axiom. Proposition 1(iii) of [Kalmbach] p. 140 and its converse. Originally proved by Garrett Birkhoff in 1933. (cvexchi 28612 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrexch.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrexch.j = (join‘𝐾)
cvrexch.m = (meet‘𝐾)
cvrexch.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrexch ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))

Proof of Theorem cvrexch
StepHypRef Expression
1 cvrexch.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cvrexch.j . . 3 = (join‘𝐾)
3 cvrexch.m . . 3 = (meet‘𝐾)
4 cvrexch.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
51, 2, 3, 4cvrexchlem 33723 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))
6 simp1 1054 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
7 hlop 33667 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
873ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
9 simp3 1056 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
10 eqid 2610 . . . . . . 7 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
111, 10opoccl 33499 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
128, 9, 11syl2anc 691 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
13 simp2 1055 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
141, 10opoccl 33499 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
158, 13, 14syl2anc 691 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
161, 2, 3, 4cvrexchlem 33723 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋))))
176, 12, 15, 16syl3anc 1318 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋))))
18 hlol 33666 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
191, 2, 3, 10oldmj1 33526 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
2018, 19syl3an1 1351 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
21 hllat 33668 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
22213ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
231, 3latmcom 16898 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
2422, 15, 12, 23syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
2520, 24eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
2625breq1d 4593 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
271, 2, 3, 10oldmm1 33522 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
2818, 27syl3an1 1351 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
291, 2latjcom 16882 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
3022, 15, 12, 29syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
3128, 30eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
3231breq2d 4595 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋))))
3317, 26, 323imtr4d 282 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))))
341, 2latjcl 16874 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
3521, 34syl3an1 1351 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
361, 10, 4cvrcon3b 33582 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑌) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
378, 13, 35, 36syl3anc 1318 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑌) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
381, 3latmcl 16875 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
3921, 38syl3an1 1351 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
401, 10, 4cvrcon3b 33582 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))))
418, 39, 9, 40syl3anc 1318 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))))
4233, 37, 413imtr4d 282 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑌)𝐶𝑌))
435, 42impbid 201 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  occoc 15776  joincjn 16767  meetcmee 16768  Latclat 16868  OPcops 33477  OLcol 33479  ccvr 33567  HLchlt 33655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656
This theorem is referenced by:  cvrat3  33746  2lplnmN  33863  2llnmj  33864  2llnm2N  33872  2lplnm2N  33925  2lplnmj  33926  lhpmcvr  34327
  Copyright terms: Public domain W3C validator