Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnmj 33864
Description: The meet of two lattice lines is an atom iff their join is a lattice plane. (Contributed by NM, 27-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmj.j = (join‘𝐾)
2llnmj.m = (meet‘𝐾)
2llnmj.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnmj.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2llnmj.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnmj ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃))

Proof of Theorem 2llnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 2llnmj.n . . . . 5 𝑁 = (LLines‘𝐾)
42, 3llnbase 33813 . . . 4 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
543ad2ant2 1076 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
62, 3llnbase 33813 . . . 4 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
763ad2ant3 1077 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8 2llnmj.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 2llnmj.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
10 eqid 2610 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
112, 8, 9, 10cvrexch 33724 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
121, 5, 7, 11syl3anc 1318 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
13 simpl1 1057 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
14 simpr 476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
15 simpl3 1059 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌𝑁)
16 hllat 33668 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
17 eqid 2610 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
182, 17, 9latmle2 16900 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
1916, 4, 6, 18syl3an 1360 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
2019adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
21 2llnmj.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2217, 10, 21, 3atcvrlln2 33823 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1321 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
24 simpl3 1059 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → 𝑌𝑁)
252, 9latmcl 16875 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
2616, 4, 6, 25syl3an 1360 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
271, 26, 73jca 1235 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)))
282, 10, 21, 3atcvrlln 33824 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑌𝑁))
2927, 28sylan 487 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑌𝑁))
3024, 29mpbird 246 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
3123, 30impbida 873 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌))
32 simpl1 1057 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
33 simpl2 1058 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝑋𝑁)
34 simpr 476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃)
352, 17, 8latlej1 16883 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
3616, 4, 6, 35syl3an 1360 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
3736adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
38 2llnmj.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
3917, 10, 3, 38llncvrlpln2 33861 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌))
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1321 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌))
41 simpl2 1058 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋𝑁)
422, 8latjcl 16874 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
4316, 4, 6, 42syl3an 1360 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
441, 5, 433jca 1235 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)))
452, 10, 3, 38llncvrlpln 33862 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃))
4644, 45sylan 487 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃))
4741, 46mpbid 221 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃)
4840, 47impbida 873 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑃𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
4912, 31, 483bitr4d 299 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  meetcmee 16768  Latclat 16868  ccvr 33567  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LLinesclln 33795  LPlanesclpl 33796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803
This theorem is referenced by:  2atmat  33865  dalem2  33965  dalemdea  33966  dalem22  33999  dalem23  34000  arglem1N  34495  cdleme16d  34586  cdleme20l2  34627
  Copyright terms: Public domain W3C validator