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Theorem llncvrlpln 33862
Description: An element covering a lattice line is a lattice plane and vice-versa. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llncvrlpln.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
llncvrlpln.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
llncvrlpln.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
llncvrlpln.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llncvrlpln (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝑁𝑌𝑃))

Proof of Theorem llncvrlpln
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1093 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpll3 1095 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑌𝐵)
3 simpr 476 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑋𝑁)
4 simplr 788 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑋𝐶𝑌)
5 llncvrlpln.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 llncvrlpln.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7 llncvrlpln.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8 llncvrlpln.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
95, 6, 7, 8lplni 33836 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑃)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1321 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑌𝑃)
11 simpll1 1093 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
12 simpll2 1094 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋𝐵)
13 eqid 2610 . . . . . . 7 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
1413, 8lplnneat 33849 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
1511, 14sylancom 698 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
16 simplr 788 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋𝐶𝑌)
17 breq1 4586 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
1816, 17syl5ibcom 234 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
19 simpll3 1095 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑌𝐵)
20 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
215, 20, 6, 13isat2 33592 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
2211, 19, 21syl2anc 691 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
2318, 22sylibrd 248 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)))
2423necon3bd 2796 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
2515, 24mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
267, 8lplnnelln 33850 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌𝑁)
2711, 26sylancom 698 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌𝑁)
285, 6, 13, 7atcvrlln 33824 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ 𝑌𝑁))
2928adantr 480 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ 𝑌𝑁))
3027, 29mtbird 314 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))
31 eqid 2610 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
325, 31, 20, 13, 7llnle 33822 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))) → ∃𝑧𝑁 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
3311, 12, 25, 30, 32syl22anc 1319 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ∃𝑧𝑁 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
34 simpr3 1062 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
35 simpll1 1093 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
36 hlop 33667 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
38 simpr2 1061 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝑁)
395, 7llnbase 33813 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑁𝑧𝐵)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐵)
41 simpll2 1094 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐵)
42 simpll3 1095 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌𝐵)
43 simpr1 1060 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌𝑃)
445, 31, 6cvrle 33583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
46 hlpos 33670 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
4735, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ Poset)
485, 31postr 16776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
4947, 40, 41, 42, 48syl13anc 1320 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
5034, 45, 49mp2and 711 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌)
5131, 6, 7, 8llncvrlpln2 33861 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝑁𝑌𝑃) ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧𝐶𝑌)
5235, 38, 43, 50, 51syl31anc 1321 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐶𝑌)
53 simplr 788 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐶𝑌)
545, 31, 6cvrcmp2 33589 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑧𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑌𝑋𝐶𝑌)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑧 = 𝑋))
5537, 40, 41, 42, 52, 53, 54syl132anc 1336 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑧 = 𝑋))
5634, 55mpbid 221 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 = 𝑋)
5756, 38eqeltrrd 2689 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝑁)
58573exp2 1277 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌𝑃 → (𝑧𝑁 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑁))))
5958imp 444 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑧𝑁 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑁)))
6059rexlimdv 3012 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (∃𝑧𝑁 𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑁))
6133, 60mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋𝑁)
6210, 61impbida 873 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝑁𝑌𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897   class class class wbr 4583  cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  Posetcpo 16763  0.cp0 16860  OPcops 33477  ccvr 33567  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LLinesclln 33795  LPlanesclpl 33796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803
This theorem is referenced by:  2lplnmN  33863  2llnmj  33864  lplncvrlvol  33920  2lplnm2N  33925  2lplnmj  33926
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