Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnm2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnm2N 33872
 Description: The meet of two different lattice lines in a lattice plane is an atom. (Contributed by NM, 5-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnm2.l = (le‘𝐾)
2llnm2.m = (meet‘𝐾)
2llnm2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnm2.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2llnm2.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnm2N ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2llnm2N
StepHypRef Expression
1 simp22 1088 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑌𝑁)
2 simp1 1054 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
3 hllat 33668 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp21 1087 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑋𝑁)
6 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 2llnm2.n . . . . . 6 𝑁 = (LLines‘𝐾)
86, 7llnbase 33813 . . . . 5 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
95, 8syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
106, 7llnbase 33813 . . . . 5 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
111, 10syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
12 2llnm2.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
136, 12latmcl 16875 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
144, 9, 11, 13syl3anc 1318 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
15 2llnm2.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
16 eqid 2610 . . . . . . 7 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
17 2llnm2.p . . . . . . 7 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
1815, 16, 7, 172llnjN 33871 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) = 𝑊)
19 simp23 1089 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑊𝑃)
2018, 19eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝑃)
216, 15, 16latlej1 16883 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
224, 9, 11, 21syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑋 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
23 eqid 2610 . . . . . 6 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
2415, 23, 7, 17llncvrlpln2 33861 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁 ∧ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋(join‘𝐾)𝑌))
252, 5, 20, 22, 24syl31anc 1321 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋(join‘𝐾)𝑌))
266, 16, 12, 23cvrexch 33724 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
272, 9, 11, 26syl3anc 1318 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
2825, 27mpbird 246 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
29 2llnm2.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
306, 23, 29, 7atcvrlln 33824 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑌𝑁))
312, 14, 11, 28, 30syl31anc 1321 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑌𝑁))
321, 31mpbird 246 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  meetcmee 16768  Latclat 16868   ⋖ ccvr 33567  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LLinesclln 33795  LPlanesclpl 33796 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803 This theorem is referenced by:  2llnm3N  33873
 Copyright terms: Public domain W3C validator