Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnm3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnm3N 33873
 Description: Two lattice lines in a lattice plane always meet. (Contributed by NM, 5-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnm3.l = (le‘𝐾)
2llnm3.m = (meet‘𝐾)
2llnm3.z 0 = (0.‘𝐾)
2llnm3.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2llnm3.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnm3N ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem 2llnm3N
StepHypRef Expression
1 oveq1 6556 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑌))
21neeq1d 2841 . 2 (𝑋 = 𝑌 → ((𝑋 𝑌) ≠ 0 ↔ (𝑌 𝑌) ≠ 0 ))
3 simpl1 1057 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
4 hlatl 33665 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
53, 4syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → 𝐾 ∈ AtLat)
6 simpl2 1058 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃))
7 simpl3l 1109 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑋 𝑊)
8 simpl3r 1110 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑌 𝑊)
9 simpr 476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑋𝑌)
10 2llnm3.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
11 2llnm3.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
12 eqid 2610 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
13 2llnm3.n . . . . 5 𝑁 = (LLines‘𝐾)
14 2llnm3.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
1510, 11, 12, 13, 142llnm2N 33872 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Atoms‘𝐾))
163, 6, 7, 8, 9, 15syl113anc 1330 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑋 𝑌) ∈ (Atoms‘𝐾))
17 2llnm3.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
1817, 12atn0 33613 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
195, 16, 18syl2anc 691 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
20 hllat 33668 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21203ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
22 simp22 1088 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) → 𝑌𝑁)
23 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2423, 13llnbase 33813 . . . . 5 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
2522, 24syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
2623, 11latmidm 16909 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑌 𝑌) = 𝑌)
2721, 25, 26syl2anc 691 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) → (𝑌 𝑌) = 𝑌)
28 simp1 1054 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2917, 13llnn0 33820 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑁) → 𝑌0 )
3028, 22, 29syl2anc 691 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) → 𝑌0 )
3127, 30eqnetrd 2849 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) → (𝑌 𝑌) ≠ 0 )
322, 19, 31pm2.61ne 2867 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  meetcmee 16768  0.cp0 16860  Latclat 16868  Atomscatm 33568  AtLatcal 33569  HLchlt 33655  LLinesclln 33795  LPlanesclpl 33796 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator