Theorem uffix2 21538

Description: A classification of fixed ultrafilters. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uffix2	⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∩ 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem uffix2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 21518	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2		filn0 21476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
3		intssuni 4434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ → ∩ 𝐹 ⊆ ∪ 𝐹)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∩ 𝐹 ⊆ ∪ 𝐹)
5		filunibas 21495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)
6	1, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)
7	4, 6	sseqtrd 3604	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∩ 𝐹 ⊆ 𝑋)
8	7	sseld 3567	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 → 𝑥 ∈ 𝑋))
9	8	pm4.71rd 665	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹)))
10		uffixfr 21537	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))
11	10	anbi2d 736	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
12	9, 11	bitrd 267	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
13	12	exbidv 1837	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
14		n0 3890	. 2 ⊢ (∩ 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ∩ 𝐹)
15		df-rex 2902	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))
16	13, 14, 15	3bitr4g 302	1 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∩ 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372  ∩ cint 4410  ‘cfv 5804  Filcfil 21459  UFilcufil 21513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-fil 21460  df-ufil 21515

This theorem is referenced by:  uffinfix  21541