Theorem tendoconid 35135

Description: The composition (product) of trace-preserving endormorphisms is nonzero when each argument is nonzero. (Contributed by NM, 8-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoid0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendoconid	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) → (𝑈 ∘ 𝑉) ≠ 𝑂)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendoconid

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoid0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		tendoid0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendoid0.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	cdlemftr0 34874	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
5	4	3ad2ant1 1075	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6		simpl1 1057	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simpl3l 1109	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉 ∈ 𝐸)
8		tendoid0.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9	2, 3, 8	tendof 35069	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → 𝑉:𝑇⟶𝑇)
10	6, 7, 9	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉:𝑇⟶𝑇)
11		simprl 790	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑔 ∈ 𝑇)
12		fvco3 6185	. . . . 5 ⊢ ((𝑉:𝑇⟶𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑉‘𝑔)))
13	10, 11, 12	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑉‘𝑔)))
14		simpl2r 1108	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 ≠ 𝑂)
15		simpl2l 1107	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 ∈ 𝐸)
16	2, 3, 8	tendocl 35073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
17	6, 7, 11, 16	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
18		simpl3r 1110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉 ≠ 𝑂)
19		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
20		tendoid0.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
21	1, 2, 3, 8, 20	tendoid0 35131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 = 𝑂))
22	6, 7, 19, 21	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 = 𝑂))
23	22	necon3bid 2826	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 ≠ 𝑂))
24	18, 23	mpbird 246	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑉‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵))
25	1, 2, 3, 8, 20	tendoid0 35131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘(𝑉‘𝑔)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
26	6, 15, 17, 24, 25	syl112anc 1322	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘(𝑉‘𝑔)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
27	26	necon3bid 2826	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘(𝑉‘𝑔)) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 ≠ 𝑂))
28	14, 27	mpbird 246	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘(𝑉‘𝑔)) ≠ ( I ↾ 𝐵))
29	13, 28	eqnetrd 2849	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵))
30	2, 8	tendococl 35078	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
31	6, 15, 7, 30	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
32	1, 2, 3, 8, 20	tendoid0 35131	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑈 ∘ 𝑉) = 𝑂))
33	6, 31, 19, 32	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑈 ∘ 𝑉) = 𝑂))
34	33	necon3bid 2826	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑈 ∘ 𝑉) ≠ 𝑂))
35	29, 34	mpbid 221	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈 ∘ 𝑉) ≠ 𝑂)
36	5, 35	rexlimddv 3017	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) → (𝑈 ∘ 𝑉) ≠ 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ↦ cmpt 4643   I cid 4948   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  TEndoctendo 35058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tendo 35061

This theorem is referenced by:  erngdvlem4  35297  erngdvlem4-rN  35305