MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspimsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspimsval 26977
Description: The induced metric on a subspace in terms of the induced metric on the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspims.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspims.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
sspims.c 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
sspims.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
sspimsval (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem sspimsval
StepHypRef Expression
1 sspims.h . . . . . 6 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
21sspnv 26965 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3 sspims.y . . . . . . 7 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
4 eqid 2610 . . . . . . 7 ( −𝑣𝑊) = ( −𝑣𝑊)
53, 4nvmcl 26885 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑌𝐵𝑌) → (𝐴( −𝑣𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
653expb 1258 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴( −𝑣𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
72, 6sylan 487 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴( −𝑣𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
8 eqid 2610 . . . . . 6 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
9 eqid 2610 . . . . . 6 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
103, 8, 9, 1sspnval 26976 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝐴( −𝑣𝑊)𝐵) ∈ 𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)))
11103expa 1257 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴( −𝑣𝑊)𝐵) ∈ 𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)))
127, 11syldan 486 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)))
13 eqid 2610 . . . . 5 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
143, 13, 4, 1sspmval 26972 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴( −𝑣𝑊)𝐵) = (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵))
1514fveq2d 6107 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)))
1612, 15eqtrd 2644 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)))
17 sspims.c . . . . 5 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
183, 4, 9, 17imsdval 26925 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑌𝐵𝑌) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)))
19183expb 1258 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)))
202, 19sylan 487 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)))
21 eqid 2610 . . . . . . 7 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2221, 3, 1sspba 26966 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑌 ⊆ (BaseSet‘𝑈))
2322sseld 3567 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝐴𝑌𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
2422sseld 3567 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝐵𝑌𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
2523, 24anim12d 584 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → ((𝐴𝑌𝐵𝑌) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))))
2625imp 444 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
27 sspims.d . . . . . 6 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
2821, 13, 8, 27imsdval 26925 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)))
29283expb 1258 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)))
3029adantlr 747 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)))
3126, 30syldan 486 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)))
3216, 20, 313eqtr4d 2654 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  NrmCVeccnv 26823  BaseSetcba 26825  𝑣 cnsb 26828  normCVcnmcv 26829  IndMetcims 26830  SubSpcss 26960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-ssp 26961
This theorem is referenced by:  sspims  26978
  Copyright terms: Public domain W3C validator