MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reldmpsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reldmpsr 19182
Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
reldmpsr Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr
Dummy variables 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psr 19177 . 2 mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ { ∈ (ℕ0𝑚 𝑖) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑((Base‘𝑟) ↑𝑚 𝑑) / 𝑏({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝑏, 𝑔𝑏 ↦ (𝑘𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝑑𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑟)(𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
21reldmmpt2 6669 1 Rel dom mPwSer
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  csb 3499  cun 3538  {csn 4125  {ctp 4129  cop 4131   class class class wbr 4583  cmpt 4643   × cxp 5036  ccnv 5037  dom cdm 5038  cres 5040  cima 5041  Rel wrel 5043  cfv 5804  (class class class)co 6549  cmpt2 6551  𝑓 cof 6793  𝑟 cofr 6794  𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  cle 9954  cmin 10145  cn 10897  0cn0 11169  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  TopSetcts 15774  TopOpenctopn 15905  tcpt 15922   Σg cgsu 15924   mPwSer cmps 19172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-rel 5045  df-dm 5048  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-psr 19177
This theorem is referenced by:  psrbas  19199  psrelbas  19200  psrplusg  19202  psraddcl  19204  psrmulr  19205  psrmulcllem  19208  psrvscafval  19211  psrvscacl  19214  resspsrbas  19236  resspsradd  19237  resspsrmul  19238  mplval  19249  opsrle  19296  opsrbaslem  19298  opsrbaslemOLD  19299  psrbaspropd  19426  psropprmul  19429
  Copyright terms: Public domain W3C validator