Theorem reim0 13706

Description: The imaginary part of a real number is 0. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reim0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem reim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 9905	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		it0e0 11131	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
3	2	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + (i · 0)) = (𝐴 + 0)
4		addid1 10095	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
5	3, 4	syl5eq 2656	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (i · 0)) = 𝐴)
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (i · 0)) = 𝐴)
7	6	fveq2d 6107	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(𝐴 + (i · 0))) = (ℑ‘𝐴))
8		0re 9919	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		crim 13703	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 0))) = 0)
10	8, 9	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(𝐴 + (i · 0))) = 0)
11	7, 10	eqtr3d 2646	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820  ℑcim 13686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689

This theorem is referenced by:  reim0b  13707  rereb  13708  remul2  13718  immul2  13725  im0  13741  im1  13743  reim0d  13813  sqrtneglem  13855  rlimrecl  14159  recld2  22425  relogrn  24112  logrnaddcl  24125