MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reim0 Structured version   Unicode version

Theorem reim0 12591
Description: The imaginary part of a real number is 0. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
reim0  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  A )  =  0 )

Proof of Theorem reim0
StepHypRef Expression
1 recn 9360 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 it0e0 10535 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
32oveq2i 6091 . . . . 5  |-  ( A  +  ( _i  x.  0 ) )  =  ( A  +  0 )
4 addid1 9537 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  0 )  =  A )
53, 4syl5eq 2477 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( _i  x.  0 ) )  =  A )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  ( _i  x.  0 ) )  =  A )
76fveq2d 5683 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  ( A  +  ( _i  x.  0 ) ) )  =  ( Im `  A ) )
8 0re 9374 . . 3  |-  0  e.  RR
9 crim 12588 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  0 ) ) )  =  0 )
108, 9mpan2 664 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  ( A  +  ( _i  x.  0 ) ) )  =  0 )
117, 10eqtr3d 2467 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  A )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   _ici 9272    + caddc 9273    x. cmul 9275   Imcim 12571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-2 10368  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574
This theorem is referenced by:  reim0b  12592  rereb  12593  remul2  12603  immul2  12610  im0  12626  im1  12628  reim0d  12698  sqrneglem  12740  rlimrecl  13042  recld2  20233  relogrn  21898  logrnaddcl  21911
  Copyright terms: Public domain W3C validator