Theorem reim0 8024

Description: The imaginary part of a real number is 0.

Assertion

Ref	Expression
reim0	|- (A e. RR -> (Im` A) = 0)

Proof of Theorem reim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 6466	. . 3 |- (A e. RR -> A e. CC)
2		imcl 8008	. . 3 |- (A e. CC -> (Im` A) e. RR)
3	1, 2	syl 12	. 2 |- (A e. RR -> (Im` A) e. RR)
4		replim 8011	. . . . . 6 |- (A e. CC -> A = ((Re` A) + (_i x. (Im` A))))
5	1, 4	syl 12	. . . . 5 |- (A e. RR -> A = ((Re` A) + (_i x. (Im` A))))
6	5	eqcomd 1889	. . . 4 |- (A e. RR -> ((Re` A) + (_i x. (Im` A))) = A)
7		recl 8007	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (Re` A) e. RR)
8	1, 7	syl 12	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (Re` A) e. RR)
9		recn 6466	. . . . . 6 |- ((Re` A) e. RR -> (Re` A) e. CC)
10	8, 9	syl 12	. . . . 5 |- (A e. RR -> (Re` A) e. CC)
11		mulcl 6456	. . . . . 6 |- ((_i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> (_i x. (Im` A)) e. CC)
12		axicn 6423	. . . . . 6 |- _i e. CC
13	3	recnd 6468	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (Im` A) e. CC)
14	11, 12, 13	sylancr 526	. . . . 5 |- (A e. RR -> (_i x. (Im` A)) e. CC)
15		subadd 6532	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ (Re` A) e. CC /\ (_i x. (Im` A)) e. CC) -> ((A - (Re` A)) = (_i x. (Im` A)) <-> ((Re` A) + (_i x. (Im` A))) = A))
16	1, 10, 14, 15	syl111anc 1100	. . . 4 |- (A e. RR -> ((A - (Re` A)) = (_i x. (Im` A)) <-> ((Re` A) + (_i x. (Im` A))) = A))
17	6, 16	mpbird 213	. . 3 |- (A e. RR -> (A - (Re` A)) = (_i x. (Im` A)))
18		resubcl 6601	. . . 4 |- ((A e. RR /\ (Re` A) e. RR) -> (A - (Re` A)) e. RR)
19	8, 18	mpdan 768	. . 3 |- (A e. RR -> (A - (Re` A)) e. RR)
20	17, 19	eqeltrrd 1972	. 2 |- (A e. RR -> (_i x. (Im` A)) e. RR)
21		rimul 7994	. 2 |- (((Im` A) e. RR /\ (_i x. (Im` A)) e. RR) -> (Im` A) = 0)
22	3, 20, 21	syl11anc 524	1 |- (A e. RR -> (Im` A) = 0)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  _ici 6388   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  Recre 7997  Imcim 7998

This theorem is referenced by:  reim0b 8025  rereb 8026  climrecl 8370  resslogrn 10107  recms 16010

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-re 8001  df-im 8002

Copyright terms: Public domain