Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pw2eng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pw2eng 7951
 Description: The power set of a set is equinumerous to set exponentiation with a base of ordinal 2𝑜. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
pw2eng (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2𝑜𝑚 𝐴))

Proof of Theorem pw2eng
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4776 . . 3 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2 ovex 6577 . . . 4 ({∅, {∅}} ↑𝑚 𝐴) ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝐴𝑉 → ({∅, {∅}} ↑𝑚 𝐴) ∈ V)
4 id 22 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴𝑉)
5 0ex 4718 . . . . 5 ∅ ∈ V
65a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ∅ ∈ V)
7 p0ex 4779 . . . . 5 {∅} ∈ V
87a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → {∅} ∈ V)
9 0nep0 4762 . . . . 5 ∅ ≠ {∅}
109a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ∅ ≠ {∅})
11 eqid 2610 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧𝐴 ↦ if(𝑧𝑥, {∅}, ∅))) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧𝐴 ↦ if(𝑧𝑥, {∅}, ∅)))
124, 6, 8, 10, 11pw2f1o 7950 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧𝐴 ↦ if(𝑧𝑥, {∅}, ∅))):𝒫 𝐴1-1-onto→({∅, {∅}} ↑𝑚 𝐴))
13 f1oen2g 7858 . . 3 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ ({∅, {∅}} ↑𝑚 𝐴) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧𝐴 ↦ if(𝑧𝑥, {∅}, ∅))):𝒫 𝐴1-1-onto→({∅, {∅}} ↑𝑚 𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≈ ({∅, {∅}} ↑𝑚 𝐴))
141, 3, 12, 13syl3anc 1318 . 2 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ ({∅, {∅}} ↑𝑚 𝐴))
15 df2o2 7461 . . 3 2𝑜 = {∅, {∅}}
1615oveq1i 6559 . 2 (2𝑜𝑚 𝐴) = ({∅, {∅}} ↑𝑚 𝐴)
1714, 16syl6breqr 4625 1 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2𝑜𝑚 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ifcif 4036  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  –1-1-onto→wf1o 5803  (class class class)co 6549  2𝑜c2o 7441   ↑𝑚 cmap 7744   ≈ cen 7838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1o 7447  df-2o 7448  df-map 7746  df-en 7842 This theorem is referenced by:  pw2en  7952  pwen  8018  mappwen  8818  pwcdaen  8890  hauspwdom  21114  enrelmap  37311
 Copyright terms: Public domain W3C validator