Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem8N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem8N 34281
 Description: Lemma for pexmidN 34273. The contradiction of pexmidlem6N 34279 and pexmidlem7N 34280 shows that there can be no atom 𝑝 that is not in 𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋), which is therefore the whole atom space. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidALT.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidALT.p + = (+𝑃𝐾)
pexmidALT.o = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pexmidlem8N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( 𝑋)) = 𝐴)

Proof of Theorem pexmidlem8N
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nonconne 2794 . 2 ¬ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)
2 simpll 786 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ HL)
3 simplr 788 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋𝐴)
4 pexmidALT.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 pexmidALT.o . . . . . . 7 = (⊥𝑃𝐾)
64, 5polssatN 34212 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
76adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
8 pexmidALT.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
94, 8paddssat 34118 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴)
102, 3, 7, 9syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴)
11 df-pss 3556 . . . . . . 7 ((𝑋 + ( 𝑋)) ⊊ 𝐴 ↔ ((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴))
12 pssnel 3991 . . . . . . 7 ((𝑋 + ( 𝑋)) ⊊ 𝐴 → ∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
1311, 12sylbir 224 . . . . . 6 (((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
14 df-rex 2902 . . . . . 6 (∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)) ↔ ∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
1513, 14sylibr 223 . . . . 5 (((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
16 simplll 794 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝐾 ∈ HL)
17 simpllr 795 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋𝐴)
18 simprl 790 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑝𝐴)
19 simplrl 796 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
20 simplrr 797 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋 ≠ ∅)
21 simprr 792 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
22 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
23 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑋 + {𝑝}) = (𝑋 + {𝑝})
2522, 23, 4, 8, 5, 24pexmidlem6N 34279 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) = 𝑋)
2622, 23, 4, 8, 5, 24pexmidlem7N 34280 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
2725, 26jca 553 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
2816, 17, 18, 19, 20, 21, 27syl33anc 1333 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
29 nonconne 2794 . . . . . . . 8 ¬ ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
3029, 12false 364 . . . . . . 7 (((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋) ↔ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))
3128, 30sylib 207 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))
3231rexlimdvaa 3014 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
3315, 32syl5 33 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
3410, 33mpand 707 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴 → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
3534necon1bd 2800 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (¬ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋) → (𝑋 + ( 𝑋)) = 𝐴))
361, 35mpi 20 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( 𝑋)) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   ⊊ wpss 3541  ∅c0 3874  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  lecple 15775  joincjn 16767  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  +𝑃cpadd 34099  ⊥𝑃cpolN 34206 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-polarityN 34207  df-psubclN 34239 This theorem is referenced by:  pexmidALTN  34282
 Copyright terms: Public domain W3C validator