Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oa00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oa00 7526
 Description: An ordinal sum is zero iff both of its arguments are zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oa00 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))

Proof of Theorem oa00
StepHypRef Expression
1 on0eln0 5697 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
3 oaword1 7519 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵))
43sseld 3567 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
52, 4sylbird 249 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
6 ne0i 3880 . . . . 5 (∅ ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅)
75, 6syl6 34 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅))
87necon4d 2806 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) = ∅ → 𝐴 = ∅))
9 on0eln0 5697 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ On → (∅ ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
109adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
11 0elon 5695 . . . . . . . 8 ∅ ∈ On
12 oaord 7514 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑜 ∅) ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
1311, 12mp3an1 1403 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑜 ∅) ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
1413ancoms 468 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑜 ∅) ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
1510, 14bitr3d 269 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ≠ ∅ ↔ (𝐴 +𝑜 ∅) ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
16 ne0i 3880 . . . . 5 ((𝐴 +𝑜 ∅) ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅)
1715, 16syl6bi 242 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅))
1817necon4d 2806 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) = ∅ → 𝐵 = ∅))
198, 18jcad 554 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) = ∅ → (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))
20 oveq12 6558 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 +𝑜 𝐵) = (∅ +𝑜 ∅))
21 oa0 7483 . . . 4 (∅ ∈ On → (∅ +𝑜 ∅) = ∅)
2211, 21ax-mp 5 . . 3 (∅ +𝑜 ∅) = ∅
2320, 22syl6eq 2660 . 2 ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 +𝑜 𝐵) = ∅)
2419, 23impbid1 214 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  Oncon0 5640  (class class class)co 6549   +𝑜 coa 7444 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451 This theorem is referenced by:  oalimcl  7527  oeoa  7564
 Copyright terms: Public domain W3C validator