Theorem nbgrel 40564

Description: Characterization of a neighbor of a vertex 𝑉 in a graph 𝐺. (Contributed by Alexander van der Vekens and Mario Carneiro, 9-Oct-2017.) (Revised by AV, 26-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 6-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbgrel.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbgrel.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbgrel	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝐾   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉   𝑒,𝑊

Proof of Theorem nbgrel

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbgrcl 40559	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
2		nbgrel.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	syl6eleqr 2699	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝑉)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝑉))
5	4	pm4.71rd 665	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁))))
6		nbgrel.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
7	2, 6	nbgrval 40560	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒})
8	7	eleq2d 2673	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒}))
9		preq2 4213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → {𝑁, 𝑘} = {𝑁, 𝐾})
10	9	sseq1d 3595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ({𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
11	10	rexbidv 3034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
12	11	elrab 3331	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒} ↔ (𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
13		eldifsn 4260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ≠ 𝑁))
14	13	anbi1i 727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒) ↔ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ≠ 𝑁) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
15		anass 679	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ≠ 𝑁) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒) ↔ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
16	12, 14, 15	3bitri 285	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒} ↔ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
17	8, 16	syl6bb 275	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))))
18	17	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))))
19	18	pm5.32da 671	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))))
20		3anass 1035	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒) ↔ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
21		ancom 465	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑉))
22	21	anbi1i 727	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)) ↔ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
23		anass 679	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)) ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))))
24	20, 22, 23	3bitrri 286	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))) ↔ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
25	19, 24	syl6bb 275	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) ↔ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
26	5, 25	bitrd 267	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792   NeighbVtx cnbgr 40550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-nbgr 40554

This theorem is referenced by:  nbgr2vtx1edg  40572  nbuhgr2vtx1edgblem  40573  nbuhgr2vtx1edgb  40574  nbgrisvtx  40581  nbgrsym  40591  isuvtxa  40621  iscplgredg  40639  cusgrexi  40662