Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nbgrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbgrel 40564
 Description: Characterization of a neighbor of a vertex 𝑉 in a graph 𝐺. (Contributed by Alexander van der Vekens and Mario Carneiro, 9-Oct-2017.) (Revised by AV, 26-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 6-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nbgrel.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbgrel.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nbgrel (𝐺𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ ((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ 𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝐾   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉   𝑒,𝑊

Proof of Theorem nbgrel
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbgrcl 40559 . . . . 5 (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
2 nbgrel.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31, 2syl6eleqr 2699 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) → 𝑁𝑉)
43a1i 11 . . 3 (𝐺𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) → 𝑁𝑉))
54pm4.71rd 665 . 2 (𝐺𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ (𝑁𝑉𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁))))
6 nbgrel.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
72, 6nbgrval 40560 . . . . . . 7 (𝑁𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒})
87eleq2d 2673 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒}))
9 preq2 4213 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐾 → {𝑁, 𝑘} = {𝑁, 𝐾})
109sseq1d 3595 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐾 → ({𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
1110rexbidv 3034 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → (∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
1211elrab 3331 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒} ↔ (𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
13 eldifsn 4260 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝐾𝑉𝐾𝑁))
1413anbi1i 727 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒) ↔ ((𝐾𝑉𝐾𝑁) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
15 anass 679 . . . . . . 7 (((𝐾𝑉𝐾𝑁) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒) ↔ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
1612, 14, 153bitri 285 . . . . . 6 (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒} ↔ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
178, 16syl6bb 275 . . . . 5 (𝑁𝑉 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))))
1817adantl 481 . . . 4 ((𝐺𝑊𝑁𝑉) → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))))
1918pm5.32da 671 . . 3 (𝐺𝑊 → ((𝑁𝑉𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) ↔ (𝑁𝑉 ∧ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))))
20 3anass 1035 . . . 4 (((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ 𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒) ↔ ((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
21 ancom 465 . . . . 5 ((𝐾𝑉𝑁𝑉) ↔ (𝑁𝑉𝐾𝑉))
2221anbi1i 727 . . . 4 (((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)) ↔ ((𝑁𝑉𝐾𝑉) ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
23 anass 679 . . . 4 (((𝑁𝑉𝐾𝑉) ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)) ↔ (𝑁𝑉 ∧ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))))
2420, 22, 233bitrri 286 . . 3 ((𝑁𝑉 ∧ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))) ↔ ((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ 𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
2519, 24syl6bb 275 . 2 (𝐺𝑊 → ((𝑁𝑉𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) ↔ ((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ 𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
265, 25bitrd 267 1 (𝐺𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ ((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ 𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792   NeighbVtx cnbgr 40550 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-nbgr 40554 This theorem is referenced by:  nbgr2vtx1edg  40572  nbuhgr2vtx1edgblem  40573  nbuhgr2vtx1edgb  40574  nbgrisvtx  40581  nbgrsym  40591  isuvtxa  40621  iscplgredg  40639  cusgrexi  40662
 Copyright terms: Public domain W3C validator