Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motcgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem motcgr 25231
 Description: Property of a motion: distances are preserved. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m = (dist‘𝐺)
motgrp.1 (𝜑𝐺𝑉)
motcgr.a (𝜑𝐴𝑃)
motcgr.b (𝜑𝐵𝑃)
motcgr.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Assertion
Ref Expression
motcgr (𝜑 → ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)) = (𝐴 𝐵))

Proof of Theorem motcgr
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 motcgr.a . 2 (𝜑𝐴𝑃)
2 motcgr.b . 2 (𝜑𝐵𝑃)
3 motcgr.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
4 motgrp.1 . . . . 5 (𝜑𝐺𝑉)
5 ismot.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
6 ismot.m . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
75, 6ismot 25230 . . . . 5 (𝐺𝑉 → (𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝐹:𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏))))
84, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝐹:𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏))))
93, 8mpbid 221 . . 3 (𝜑 → (𝐹:𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏)))
109simprd 478 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏))
11 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝐴))
1211oveq1d 6564 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = ((𝐹𝐴) (𝐹𝑏)))
13 oveq1 6556 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 𝑏) = (𝐴 𝑏))
1412, 13eqeq12d 2625 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏) ↔ ((𝐹𝐴) (𝐹𝑏)) = (𝐴 𝑏)))
15 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝐵))
1615oveq2d 6565 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹𝐴) (𝐹𝑏)) = ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)))
17 oveq2 6557 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 𝑏) = (𝐴 𝐵))
1816, 17eqeq12d 2625 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → (((𝐹𝐴) (𝐹𝑏)) = (𝐴 𝑏) ↔ ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)) = (𝐴 𝐵)))
1914, 18rspc2va 3294 . 2 (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏)) → ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)) = (𝐴 𝐵))
201, 2, 10, 19syl21anc 1317 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)) = (𝐴 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  distcds 15777  Ismtcismt 25227 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-ismt 25228 This theorem is referenced by:  motco  25235  cnvmot  25236  motcgrg  25239  motcgr3  25240
 Copyright terms: Public domain W3C validator