Theorem lnmfg 36670

Description: A Noetherian left module is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lnmfg	⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lnmfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2	1	ressid 15762	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) = 𝑀)
3		lnmlmod 36667	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
4		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
5	1, 4	lss1 18760	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
7		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) = (𝑀 ↾s (Base‘𝑀))
8	4, 7	lnmlssfg 36668	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
9	6, 8	mpdan 699	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
10	2, 9	eqeltrrd 2689	1 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LFinGenclfig 36655  LNoeMclnm 36663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-ress 15702  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lnm 36664

This theorem is referenced by: (None)