Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmfg Structured version   Unicode version

Theorem lnmfg 35370
Description: A Noetherian left module is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
lnmfg  |-  ( M  e. LNoeM  ->  M  e. LFinGen )

Proof of Theorem lnmfg
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
21ressid 14901 . 2  |-  ( M  e. LNoeM  ->  ( Ms  ( Base `  M ) )  =  M )
3 lnmlmod 35367 . . . 4  |-  ( M  e. LNoeM  ->  M  e.  LMod )
4 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  M )  =  (
LSubSp `  M )
51, 4lss1 17903 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( Base `  M )  e.  (
LSubSp `  M ) )
63, 5syl 17 . . 3  |-  ( M  e. LNoeM  ->  ( Base `  M
)  e.  ( LSubSp `  M ) )
7 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Ms  (
Base `  M )
)  =  ( Ms  (
Base `  M )
)
84, 7lnmlssfg 35368 . . 3  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  ( Base `  M )  e.  ( LSubSp `  M )
)  ->  ( Ms  ( Base `  M ) )  e. LFinGen )
96, 8mpdan 666 . 2  |-  ( M  e. LNoeM  ->  ( Ms  ( Base `  M ) )  e. LFinGen )
102, 9eqeltrrd 2491 1  |-  ( M  e. LNoeM  ->  M  e. LFinGen )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1842   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   ↾s cress 14840   LModclmod 17830   LSubSpclss 17896  LFinGenclfig 35355  LNoeMclnm 35363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-ress 14846  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lnm 35364
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator