Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isopn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isopn3 20680
 Description: A subset is open iff it equals its own interior. (Contributed by NM, 9-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
isopn3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))

Proof of Theorem isopn3
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐽
21ntrval 20650 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3 inss2 3796 . . . . . . . 8 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
43unissi 4397 . . . . . . 7 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
5 unipw 4845 . . . . . . 7 𝒫 𝑆 = 𝑆
64, 5sseqtri 3600 . . . . . 6 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝑆
76a1i 11 . . . . 5 (𝑆𝐽 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝑆)
8 id 22 . . . . . . 7 (𝑆𝐽𝑆𝐽)
9 pwidg 4121 . . . . . . 7 (𝑆𝐽𝑆 ∈ 𝒫 𝑆)
108, 9elind 3760 . . . . . 6 (𝑆𝐽𝑆 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
11 elssuni 4403 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) → 𝑆 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝑆𝐽𝑆 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
137, 12eqssd 3585 . . . 4 (𝑆𝐽 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = 𝑆)
142, 13sylan9eq 2664 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑆𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
1514ex 449 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆𝐽 → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
161ntropn 20663 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽)
17 eleq1 2676 . . 3 (((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆 → (((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽𝑆𝐽))
1816, 17syl5ibcom 234 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆𝑆𝐽))
1915, 18impbid 201 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372  ‘cfv 5804  Topctop 20517  intcnt 20631 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-top 20521  df-ntr 20634 This theorem is referenced by:  ntridm  20682  ntrtop  20684  ntr0  20695  isopn3i  20696  opnnei  20734  cnntr  20889  llycmpkgen2  21163  dvnres  23500  dvcnvre  23586  taylthlem2  23932  ulmdvlem3  23960  abelth  23999  opnbnd  31490  ioontr  38583  cncfuni  38772  fperdvper  38808  dirkercncflem3  38998  dirkercncflem4  38999  fourierdlem58  39057  fourierdlem73  39072
 Copyright terms: Public domain W3C validator