Theorem isnmhm2 22366

Description: A normed module homomorphism is a left module homomorphism with bounded norm (a bounded linear operator). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnmhm2.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
isnmhm2	⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))

Proof of Theorem isnmhm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnmhm 22360	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
2	1	baib 942	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) → (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
3	2	baibd 946	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)))
4		lmghm 18852	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5		nlmngp 22291	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
6		nlmngp 22291	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
7		isnmhm2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
8	7	isnghm 22337	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
9	8	baib 942	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
10	5, 6, 9	syl2an 493	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
11	10	baibd 946	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
12	4, 11	sylan2 490	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
13	3, 12	bitrd 267	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
14	13	3impa 1251	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   GrpHom cghm 17480   LMHom clmhm 18840  NrmGrpcngp 22192  NrmModcnlm 22195   normOp cnmo 22319   NGHom cnghm 22320   NMHom cnmhm 22321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-ico 12052  df-lmhm 18843  df-nlm 22201  df-nmo 22322  df-nghm 22323  df-nmhm 22324

This theorem is referenced by: (None)