Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpln2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islpln2a 33852
 Description: The predicate "is a lattice plane" for join of atoms. (Contributed by NM, 16-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln2a.l = (le‘𝐾)
islpln2a.j = (join‘𝐾)
islpln2a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islpln2a.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islpln2a ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))))

Proof of Theorem islpln2a
StepHypRef Expression
1 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑅))
2 islpln2a.j . . . . . . . . . 10 = (join‘𝐾)
3 islpln2a.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3hlatjidm 33673 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
543ad2antr2 1220 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
61, 5sylan9eqr 2666 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 𝑅) = 𝑅)
76oveq1d 6564 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑅 𝑆))
8 simpll 786 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝐾 ∈ HL)
9 simplr2 1097 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑅𝐴)
10 simplr3 1098 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑆𝐴)
11 islpln2a.p . . . . . . . 8 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
122, 3, 112atnelpln 33848 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → ¬ (𝑅 𝑆) ∈ 𝑃)
138, 9, 10, 12syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ¬ (𝑅 𝑆) ∈ 𝑃)
147, 13eqneltrd 2707 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃)
1514ex 449 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑄 = 𝑅 → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃))
1615necon2ad 2797 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃𝑄𝑅))
17 hllat 33668 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
19 simpr3 1062 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆𝐴)
20 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2120, 3atbase 33594 . . . . . . 7 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
2219, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
2320, 2, 3hlatjcl 33671 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
24233adant3r3 1268 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
25 islpln2a.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
2620, 25, 2latleeqj2 16887 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 (𝑄 𝑅) ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑄 𝑅)))
2718, 22, 24, 26syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑆 (𝑄 𝑅) ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑄 𝑅)))
282, 3, 112atnelpln 33848 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → ¬ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃)
29283adant3r3 1268 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ¬ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃)
30 eleq1 2676 . . . . . . 7 (((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑄 𝑅) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃))
3130notbid 307 . . . . . 6 (((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑄 𝑅) → (¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ ¬ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃))
3229, 31syl5ibrcom 236 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑄 𝑅) → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃))
3327, 32sylbid 229 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑆 (𝑄 𝑅) → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃))
3433con2d 128 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 → ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
3516, 34jcad 554 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 → (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))))
3625, 2, 3, 11lplni2 33841 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃)
37363expia 1259 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃))
3835, 37impbid 201 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  Latclat 16868  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LPlanesclpl 33796 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803 This theorem is referenced by:  islpln2ah  33853  2atmat  33865  dalawlem13  34187  cdleme16d  34586
 Copyright terms: Public domain W3C validator