MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infssuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infssuni 8140
Description: If an infinite set 𝐴 is included in the underlying set of a finite cover 𝐵, then there exists a set of the cover that contains an infinite number of element of 𝐴. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
infssuni ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 𝐵) → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem infssuni
StepHypRef Expression
1 dfral2 2977 . . 3 (∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ ¬ ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)
2 iunfi 8137 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin) → 𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin)
3 iunin2 4520 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐵 (𝐴𝑥) = (𝐴 𝑥𝐵 𝑥)
43eleq1i 2679 . . . . . . . . 9 ( 𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 𝑥𝐵 𝑥) ∈ Fin)
5 uniiun 4509 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = 𝑥𝐵 𝑥
65eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐵 𝑥 = 𝐵
76ineq2i 3773 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 𝑥𝐵 𝑥) = (𝐴 𝐵)
87eleq1i 2679 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 𝑥𝐵 𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 𝐵) ∈ Fin)
9 df-ss 3554 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴 𝐵) = 𝐴)
10 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 𝐵) = 𝐴 → ((𝐴 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
11 pm2.24 120 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin))
1210, 11syl6bi 242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 𝐵) = 𝐴 → ((𝐴 𝐵) ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
139, 12sylbi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 𝐵 → ((𝐴 𝐵) ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
1413com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
158, 14sylbi 206 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝑥𝐵 𝑥) ∈ Fin → (𝐴 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
164, 15sylbi 206 . . . . . . . 8 ( 𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin → (𝐴 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
172, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin) → (𝐴 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
1817ex 449 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin → (𝐴 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin))))
1918com24 93 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (𝐴 𝐵 → (∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin))))
2019com12 32 . . . 4 𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 𝐵 → (∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin))))
21203imp 1249 . . 3 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 𝐵) → (∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin))
221, 21syl5bir 232 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 𝐵) → (¬ ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin))
2322pm2.18d 123 1 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 𝐵) → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  cin 3539  wss 3540   cuni 4372   ciun 4455  Fincfn 7841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845
This theorem is referenced by:  bwth  21023
  Copyright terms: Public domain W3C validator