MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infssuni Structured version   Unicode version

Theorem infssuni 7862
Description: If an infinite set  A is included in the underlying set of a finite cover  B, then there exists a set of the cover that contains an infinite number of element of  A. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
infssuni  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  A  C_  U. B )  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem infssuni
StepHypRef Expression
1 dfral2 2870 . . 3  |-  ( A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e. 
Fin 
<->  -.  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x )  e. 
Fin )
2 iunfi 7859 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  B  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
3 iunin2 4357 . . . . . . . . . 10  |-  U_ x  e.  B  ( A  i^i  x )  =  ( A  i^i  U_ x  e.  B  x )
43eleq1i 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  B  ( A  i^i  x )  e. 
Fin 
<->  ( A  i^i  U_ x  e.  B  x
)  e.  Fin )
5 uniiun 4346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. B  =  U_ x  e.  B  x
65eqcomi 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  B  x  =  U. B
76ineq2i 3658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  U_ x  e.  B  x )  =  ( A  i^i  U. B
)
87eleq1i 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  U_ x  e.  B  x )  e.  Fin  <->  ( A  i^i  U. B )  e.  Fin )
9 df-ss 3447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  U. B  <->  ( A  i^i  U. B )  =  A )
10 eleq1 2492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  i^i  U. B
)  =  A  -> 
( ( A  i^i  U. B )  e.  Fin  <->  A  e.  Fin ) )
11 pm2.24 112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
)
1210, 11syl6bi 231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  U. B
)  =  A  -> 
( ( A  i^i  U. B )  e.  Fin  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
139, 12sylbi 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  U. B  ->  (
( A  i^i  U. B )  e.  Fin  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
1413com12 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  U. B
)  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. B  -> 
( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
158, 14sylbi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  U_ x  e.  B  x )  e.  Fin  ->  ( A  C_ 
U. B  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
164, 15sylbi 198 . . . . . . . 8  |-  ( U_ x  e.  B  ( A  i^i  x )  e. 
Fin  ->  ( A  C_  U. B  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x )  e. 
Fin ) ) )
172, 16syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin )  -> 
( A  C_  U. B  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
1817ex 435 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  B  ( A  i^i  x
)  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. B  -> 
( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) ) )
1918com24 90 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. B  ->  ( A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) ) )
2019com12 32 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. B  -> 
( A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) ) )
21203imp 1199 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  A  C_  U. B )  ->  ( A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
)
221, 21syl5bir 221 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  A  C_  U. B )  ->  ( -.  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
)
2322pm2.18d 114 1  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  A  C_  U. B )  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774    i^i cin 3432    C_ wss 3433   U.cuni 4213   U_ciun 4293   Fincfn 7568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-fin 7572
This theorem is referenced by:  bwth  20349
  Copyright terms: Public domain W3C validator