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Theorem infssuni 7823
Description: If an infinite set  A is included in the underlying set of a finite cover  B, then there exists a set of the cover that contains an infinite number of element of  A. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
infssuni  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  A  C_  U. B )  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem infssuni
StepHypRef Expression
1 dfral2 2914 . . 3  |-  ( A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e. 
Fin 
<->  -.  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x )  e. 
Fin )
2 iunfi 7820 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  B  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
3 iunin2 4395 . . . . . . . . . 10  |-  U_ x  e.  B  ( A  i^i  x )  =  ( A  i^i  U_ x  e.  B  x )
43eleq1i 2544 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  B  ( A  i^i  x )  e. 
Fin 
<->  ( A  i^i  U_ x  e.  B  x
)  e.  Fin )
5 uniiun 4384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. B  =  U_ x  e.  B  x
65eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  B  x  =  U. B
76ineq2i 3702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  U_ x  e.  B  x )  =  ( A  i^i  U. B
)
87eleq1i 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  U_ x  e.  B  x )  e.  Fin  <->  ( A  i^i  U. B )  e.  Fin )
9 df-ss 3495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  U. B  <->  ( A  i^i  U. B )  =  A )
10 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  i^i  U. B
)  =  A  -> 
( ( A  i^i  U. B )  e.  Fin  <->  A  e.  Fin ) )
11 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
)
1210, 11syl6bi 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  U. B
)  =  A  -> 
( ( A  i^i  U. B )  e.  Fin  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
139, 12sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  U. B  ->  (
( A  i^i  U. B )  e.  Fin  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
1413com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  U. B
)  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. B  -> 
( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
158, 14sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  U_ x  e.  B  x )  e.  Fin  ->  ( A  C_ 
U. B  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
164, 15sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( U_ x  e.  B  ( A  i^i  x )  e. 
Fin  ->  ( A  C_  U. B  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x )  e. 
Fin ) ) )
172, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin )  -> 
( A  C_  U. B  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
1817ex 434 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  B  ( A  i^i  x
)  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. B  -> 
( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) ) )
1918com24 87 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. B  ->  ( A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) ) )
2019com12 31 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. B  -> 
( A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) ) )
21203imp 1190 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  A  C_  U. B )  ->  ( A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
)
221, 21syl5bir 218 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  A  C_  U. B )  ->  ( -.  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
)
2322pm2.18d 111 1  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  A  C_  U. B )  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818    i^i cin 3480    C_ wss 3481   U.cuni 4251   U_ciun 4331   Fincfn 7528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-fin 7532
This theorem is referenced by:  bwth  19778  bwthOLD  19779
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