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Theorem infssuni 7883
Description: If an infinite set  A is included in the underlying set of a finite cover  B, then there exists a set of the cover that contains an infinite number of element of  A. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
infssuni  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  A  C_  U. B )  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem infssuni
StepHypRef Expression
1 dfral2 2835 . . 3  |-  ( A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e. 
Fin 
<->  -.  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x )  e. 
Fin )
2 iunfi 7880 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  B  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
3 iunin2 4333 . . . . . . . . . 10  |-  U_ x  e.  B  ( A  i^i  x )  =  ( A  i^i  U_ x  e.  B  x )
43eleq1i 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  B  ( A  i^i  x )  e. 
Fin 
<->  ( A  i^i  U_ x  e.  B  x
)  e.  Fin )
5 uniiun 4322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. B  =  U_ x  e.  B  x
65eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  B  x  =  U. B
76ineq2i 3622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  U_ x  e.  B  x )  =  ( A  i^i  U. B
)
87eleq1i 2540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  U_ x  e.  B  x )  e.  Fin  <->  ( A  i^i  U. B )  e.  Fin )
9 df-ss 3404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  U. B  <->  ( A  i^i  U. B )  =  A )
10 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  i^i  U. B
)  =  A  -> 
( ( A  i^i  U. B )  e.  Fin  <->  A  e.  Fin ) )
11 pm2.24 112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
)
1210, 11syl6bi 236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  U. B
)  =  A  -> 
( ( A  i^i  U. B )  e.  Fin  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
139, 12sylbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  U. B  ->  (
( A  i^i  U. B )  e.  Fin  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
1413com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  U. B
)  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. B  -> 
( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
158, 14sylbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  U_ x  e.  B  x )  e.  Fin  ->  ( A  C_ 
U. B  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
164, 15sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( U_ x  e.  B  ( A  i^i  x )  e. 
Fin  ->  ( A  C_  U. B  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x )  e. 
Fin ) ) )
172, 16syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin )  -> 
( A  C_  U. B  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
1817ex 441 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  B  ( A  i^i  x
)  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. B  -> 
( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) ) )
1918com24 89 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. B  ->  ( A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) ) )
2019com12 31 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. B  -> 
( A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) ) )
21203imp 1224 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  A  C_  U. B )  ->  ( A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
)
221, 21syl5bir 226 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  A  C_  U. B )  ->  ( -.  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
)
2322pm2.18d 115 1  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  A  C_  U. B )  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757    i^i cin 3389    C_ wss 3390   U.cuni 4190   U_ciun 4269   Fincfn 7587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591
This theorem is referenced by:  bwth  20502
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