Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fge0npnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fge0npnf 39260
Description: If 𝐹 maps to nonnegative reals, then +∞ is not in its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
fge0npnf.1 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
fge0npnf (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem fge0npnf
StepHypRef Expression
1 fge0npnf.1 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
2 frn 5966 . . . . 5 (𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
43adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
5 simpr 476 . . 3 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐹)
64, 5sseldd 3569 . 2 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ (0[,)+∞))
7 0xr 9965 . . . 4 0 ∈ ℝ*
8 icoub 38599 . . . 4 (0 ∈ ℝ* → ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞))
97, 8ax-mp 5 . . 3 ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞)
109a1i 11 . 2 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞))
116, 10pm2.65da 598 1 (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  wcel 1977  wss 3540  ran crn 5039  wf 5800  (class class class)co 6549  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  *cxr 9952  [,)cico 12048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-ico 12052
This theorem is referenced by:  sge0reval  39265  sge0fsum  39280
  Copyright terms: Public domain W3C validator