Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdwd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdwd 18233
 Description: A mapping being a finitely supported function in the family 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.) (Proof shortened by OpenAI, 30-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdff.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
dprdff.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdff.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdwd.3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐴 ∈ (𝑆𝑥))
dprdwd.4 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐴) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
dprdwd (𝜑 → (𝑥𝐼𝐴) ∈ 𝑊)
Distinct variable groups:   𝐴,   𝑥,   𝑥,𝐺   ,𝑖,𝐼,𝑥   0 ,   𝜑,𝑥   𝑆,,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐺(,𝑖)   𝑊(𝑥,,𝑖)   0 (𝑥,𝑖)

Proof of Theorem dprdwd
StepHypRef Expression
1 eqidd 2611 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐴) = (𝑥𝐼𝐴))
2 dprdwd.3 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐴 ∈ (𝑆𝑥))
32ralrimiva 2949 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝐴 ∈ (𝑆𝑥))
4 dprdff.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
5 dprdff.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
64, 5dprddomcld 18223 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ V)
7 mptelixpg 7831 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ V → ((𝑥𝐼𝐴) ∈ X𝑥𝐼 (𝑆𝑥) ↔ ∀𝑥𝐼 𝐴 ∈ (𝑆𝑥)))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐼𝐴) ∈ X𝑥𝐼 (𝑆𝑥) ↔ ∀𝑥𝐼 𝐴 ∈ (𝑆𝑥)))
93, 8mpbird 246 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐴) ∈ X𝑥𝐼 (𝑆𝑥))
10 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑖 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝑖))
1110cbvixpv 7812 . . . . 5 X𝑥𝐼 (𝑆𝑥) = X𝑖𝐼 (𝑆𝑖)
129, 11syl6eleq 2698 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐴) ∈ X𝑖𝐼 (𝑆𝑖))
13 dprdwd.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐴) finSupp 0 )
14 breq1 4586 . . . . 5 ( = (𝑥𝐼𝐴) → ( finSupp 0 ↔ (𝑥𝐼𝐴) finSupp 0 ))
1514elrab 3331 . . . 4 ((𝑥𝐼𝐴) ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 } ↔ ((𝑥𝐼𝐴) ∈ X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∧ (𝑥𝐼𝐴) finSupp 0 ))
1612, 13, 15sylanbrc 695 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐴) ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 })
17 dprdff.w . . 3 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
1816, 17syl6eleqr 2699 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐴) ∈ 𝑊)
191, 18eqeltrrd 2689 1 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐴) ∈ 𝑊)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  Xcixp 7794   finSupp cfsupp 8158   DProd cdprd 18215 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-ixp 7795  df-dprd 18217 This theorem is referenced by:  dprdfid  18239  dprdfinv  18241  dprdfadd  18242  dmdprdsplitlem  18259  dpjidcl  18280  dchrptlem3  24791
 Copyright terms: Public domain W3C validator