Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibval2 35451
Description: Value of the partial isomorphism B. (Contributed by NM, 18-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dibval2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibval2.l = (le‘𝐾)
dibval2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibval2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dibval2.o 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dibval2.j 𝐽 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dibval2.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dibval2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) = ((𝐽𝑋) × { 0 }))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐼(𝑓)   𝐽(𝑓)   (𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dibval2
StepHypRef Expression
1 dibval2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dibval2.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 dibval2.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dibval2.j . . . 4 𝐽 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4diaeldm 35343 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐽 ↔ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)))
65biimpar 501 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → 𝑋 ∈ dom 𝐽)
7 dibval2.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 dibval2.o . . 3 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
9 dibval2.i . . 3 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
101, 3, 7, 8, 4, 9dibval 35449 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) → (𝐼𝑋) = ((𝐽𝑋) × { 0 }))
116, 10syldan 486 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) = ((𝐽𝑋) × { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  {csn 4125   class class class wbr 4583  cmpt 4643   I cid 4948   × cxp 5036  dom cdm 5038  cres 5040  cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  DIsoAcdia 35335  DIsoBcdib 35445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-disoa 35336  df-dib 35446
This theorem is referenced by:  dibopelval2  35452  dibval3N  35453  dibelval3  35454  dibelval1st  35456  dibelval2nd  35459  dibn0  35460  dibord  35466  dib0  35471  dib1dim  35472  dibss  35476  diblss  35477  dihwN  35596
  Copyright terms: Public domain W3C validator