Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem4 25612
 Description: Lemma for ax5seg 25618. Given two distinct points, the scaling constant in a betweenness statement is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑇 ≠ 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝑁   𝑇,𝑖

Proof of Theorem ax5seglem4
StepHypRef Expression
1 oveq2 6557 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = (1 − 0))
2 1m0e1 11008 . . . . . . . . . . 11 (1 − 0) = 1
31, 2syl6eq 2660 . . . . . . . . . 10 (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = 1)
43oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝑇 = 0 → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) = (1 · (𝐴𝑖)))
5 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑇 = 0 → (𝑇 · (𝐶𝑖)) = (0 · (𝐶𝑖)))
64, 5oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝑇 = 0 → (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖))))
76eqeq2d 2620 . . . . . . 7 (𝑇 = 0 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖)))))
87ralbidv 2969 . . . . . 6 (𝑇 = 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖)))))
98biimpac 502 . . . . 5 ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝑇 = 0) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖))))
10 eqeefv 25583 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
11103adant1 1072 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
12113adant3r3 1268 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
13 eqcom 2617 . . . . . . . 8 (((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖))) = (𝐵𝑖) ↔ (𝐵𝑖) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖))))
14 simplr1 1096 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
15 fveecn 25582 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
1614, 15sylancom 698 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
17 simplr3 1098 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
18 fveecn 25582 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
1917, 18sylancom 698 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
20 mulid2 9917 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝐴𝑖)) = (𝐴𝑖))
21 mul02 10093 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶𝑖) ∈ ℂ → (0 · (𝐶𝑖)) = 0)
2220, 21oveqan12d 6568 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖))) = ((𝐴𝑖) + 0))
23 addid1 10095 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑖) ∈ ℂ → ((𝐴𝑖) + 0) = (𝐴𝑖))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐴𝑖) + 0) = (𝐴𝑖))
2522, 24eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖))) = (𝐴𝑖))
2616, 19, 25syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖))) = (𝐴𝑖))
2726eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖))) = (𝐵𝑖) ↔ (𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
2813, 27syl5rbbr 274 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) = (𝐵𝑖) ↔ (𝐵𝑖) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖)))))
2928ralbidva 2968 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖)))))
3012, 29bitrd 267 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖)))))
319, 30syl5ibr 235 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝑇 = 0) → 𝐴 = 𝐵))
3231expdimp 452 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) → (𝑇 = 0 → 𝐴 = 𝐵))
3332necon3d 2803 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) → (𝐴𝐵𝑇 ≠ 0))
34333impia 1253 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑇 ≠ 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕcn 10897  ...cfz 12197  𝔼cee 25568 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-ee 25571 This theorem is referenced by:  ax5seg  25618
 Copyright terms: Public domain W3C validator