Theorem ax5seglem5 25613

Description: Lemma for ax5seg 25618. If 𝐵 is between 𝐴 and 𝐶, and 𝐴 is distinct from 𝐵, then 𝐴 is distinct from 𝐶. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ax5seglem5	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑇,𝑖   𝑖,𝑁,𝑗

Allowed substitution hint:   𝑇(𝑗)

Proof of Theorem ax5seglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (𝐴‘𝑖) = (𝐶‘𝑖))
2	1	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (𝑇 · (𝐴‘𝑖)) = (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))
3	2	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))
4	3	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))) ↔ (𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))))
5	4	ralbidv 2969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))))
6	5	biimparc 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝐴 = 𝐶) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))))
7		simplr1 1096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		simplr2 1097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		eqeefv 25583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
10	7, 8, 9	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
11		fveecn 25582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
12	7, 11	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
13		0re 9919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		1re 9918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
15	13, 14	elicc2i 12110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1))
16	15	simp1bi 1069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
17	16	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℂ)
18	17	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℂ)
19		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		npcan 10169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
21	19, 20	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
22	21	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) = (1 · (𝐴‘𝑖)))
23		mulid2 9917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝐴‘𝑖)) = (𝐴‘𝑖))
24	22, 23	sylan9eqr 2666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) = (𝐴‘𝑖))
25		subcl 10159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
26	19, 25	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
28		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → 𝑇 ∈ ℂ)
29		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
30	27, 28, 29	adddird 9944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))))
31	24, 30	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))))
32	31	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖) ↔ (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))) = (𝐵‘𝑖)))
33	12, 18, 32	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖) ↔ (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))) = (𝐵‘𝑖)))
34		eqcom 2617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))) = (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))))
35	33, 34	syl6bb 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖)))))
36	35	ralbidva 2968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖)))))
37	10, 36	bitrd 267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖)))))
38	6, 37	syl5ibr 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
39	38	expd 451	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) → (𝐴 = 𝐶 → 𝐴 = 𝐵)))
40	39	impr 647	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝐴 = 𝐶 → 𝐴 = 𝐵))
41	40	necon3d 2803	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐶))
42	41	ex 449	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐶)))
43	42	com23 84	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → 𝐴 ≠ 𝐶)))
44	43	exp4a 631	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝑇 ∈ (0[,]1) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) → 𝐴 ≠ 𝐶))))
45	44	3imp2 1274	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → 𝐴 ≠ 𝐶)
46		simplr1 1096	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
47		simplr3 1098	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
48		eqeelen 25584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐶 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = 0))
49	46, 47, 48	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝐴 = 𝐶 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = 0))
50	49	necon3bid 2826	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ≠ 0))
51	45, 50	mpbid 221	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  Σcsu 14264  𝔼cee 25568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-ee 25571

This theorem is referenced by:  ax5seglem6  25614