Theorem uvtxael1 40622

Description: A universal vertex, i.e. an element of the set of all universal vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvtxael.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuvtxa.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uvtxael1	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝑁 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑁} ⊆ 𝑒)))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺,𝑘   𝑒,𝑉,𝑘   𝑒,𝑊,𝑘   𝑒,𝑁,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem uvtxael1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvtxael.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		isuvtxa.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	isuvtxa 40621	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (UnivVtx‘𝐺) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒})
4	3	eleq2d 2673	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝑁 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒}))
5		sneq 4135	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑛} = {𝑁})
6	5	difeq2d 3690	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑉 ∖ {𝑛}) = (𝑉 ∖ {𝑁}))
7		preq2 4213	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑘, 𝑛} = {𝑘, 𝑁})
8	7	sseq1d 3595	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ({𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑘, 𝑁} ⊆ 𝑒))
9	8	rexbidv 3034	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑁} ⊆ 𝑒))
10	6, 9	raleqbidv 3129	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑁} ⊆ 𝑒))
11	10	elrab 3331	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒} ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑁} ⊆ 𝑒))
12	4, 11	syl6bb 275	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝑁 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑁} ⊆ 𝑒)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792  UnivVtxcuvtxa 40551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-nbgr 40554  df-uvtxa 40556

This theorem is referenced by: (None)