Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uvtxael1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvtxael1 40622
 Description: A universal vertex, i.e. an element of the set of all universal vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
uvtxael.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuvtxa.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
uvtxael1 (𝐺𝑊 → (𝑁 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑁𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑁} ⊆ 𝑒)))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺,𝑘   𝑒,𝑉,𝑘   𝑒,𝑊,𝑘   𝑒,𝑁,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem uvtxael1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvtxael.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 isuvtxa.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2isuvtxa 40621 . . 3 (𝐺𝑊 → (UnivVtx‘𝐺) = {𝑛𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒})
43eleq2d 2673 . 2 (𝐺𝑊 → (𝑁 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ {𝑛𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒}))
5 sneq 4135 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → {𝑛} = {𝑁})
65difeq2d 3690 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑉 ∖ {𝑛}) = (𝑉 ∖ {𝑁}))
7 preq2 4213 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → {𝑘, 𝑛} = {𝑘, 𝑁})
87sseq1d 3595 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ({𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑘, 𝑁} ⊆ 𝑒))
98rexbidv 3034 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑁} ⊆ 𝑒))
106, 9raleqbidv 3129 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑁} ⊆ 𝑒))
1110elrab 3331 . 2 (𝑁 ∈ {𝑛𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒} ↔ (𝑁𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑁} ⊆ 𝑒))
124, 11syl6bb 275 1 (𝐺𝑊 → (𝑁 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑁𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑁} ⊆ 𝑒)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792  UnivVtxcuvtxa 40551 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-nbgr 40554  df-uvtxa 40556 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator