Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tosglblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tosglblem 29000
 Description: Lemma for tosglb 29001 and xrsclat 29011. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.) (Revised by NM, 15-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
tosglb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tosglb.l < = (lt‘𝐾)
tosglb.1 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
tosglb.2 (𝜑𝐴𝐵)
tosglb.e = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
tosglblem ((𝜑𝑎𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑎 𝑏 ∧ ∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑, <   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐾(𝑑)   (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem tosglblem
StepHypRef Expression
1 tosglb.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
21ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐾 ∈ Toset)
3 tosglb.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐴𝐵)
54sselda 3568 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐵)
6 simplr 788 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑎𝐵)
7 tosglb.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 tosglb.e . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
9 tosglb.l . . . . . . 7 < = (lt‘𝐾)
107, 8, 9tltnle 28993 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑏𝐵𝑎𝐵) → (𝑏 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 𝑏))
112, 5, 6, 10syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 𝑏))
1211con2bid 343 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑎 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 < 𝑎))
1312ralbidva 2968 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑎 𝑏 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑎))
143ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐴𝐵)
15 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐴)
1614, 15sseldd 3569 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐵)
177, 8, 9tltnle 28993 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑏 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 𝑏))
181, 17syl3an1 1351 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑏 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 𝑏))
19183com23 1263 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐𝐵𝑏𝐵) → (𝑏 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 𝑏))
20193expa 1257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑏 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 𝑏))
2120con2bid 343 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑐 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 < 𝑐))
2216, 21syldan 486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑐 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 < 𝑐))
2322ralbidva 2968 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑐))
24 breq1 4586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 < 𝑐𝑑 < 𝑐))
2524notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 → (¬ 𝑏 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑑 < 𝑐))
2625cbvralv 3147 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑐 ↔ ∀𝑑𝐴 ¬ 𝑑 < 𝑐)
27 ralnex 2975 . . . . . . . . . 10 (∀𝑑𝐴 ¬ 𝑑 < 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐)
2826, 27bitri 263 . . . . . . . . 9 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐)
2923, 28syl6bb 275 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐))
3029adantlr 747 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐))
311ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝐾 ∈ Toset)
32 simplr 788 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑎𝐵)
33 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑐𝐵)
347, 8, 9tltnle 28993 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑎𝐵𝑐𝐵) → (𝑎 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 𝑎))
3531, 32, 33, 34syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑎 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 𝑎))
3635con2bid 343 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑐 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 𝑐))
3730, 36imbi12d 333 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎) ↔ (¬ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐 → ¬ 𝑎 < 𝑐)))
38 con34b 305 . . . . . 6 ((𝑎 < 𝑐 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐) ↔ (¬ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐 → ¬ 𝑎 < 𝑐))
3937, 38syl6bbr 277 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎) ↔ (𝑎 < 𝑐 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐)))
4039ralbidva 2968 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎) ↔ ∀𝑐𝐵 (𝑎 < 𝑐 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐)))
41 breq2 4587 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (𝑎 < 𝑏𝑎 < 𝑐))
42 breq2 4587 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑐 → (𝑑 < 𝑏𝑑 < 𝑐))
4342rexbidv 3034 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏 ↔ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐))
4441, 43imbi12d 333 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏) ↔ (𝑎 < 𝑐 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐)))
4544cbvralv 3147 . . . 4 (∀𝑏𝐵 (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏) ↔ ∀𝑐𝐵 (𝑎 < 𝑐 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐))
4640, 45syl6bbr 277 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎) ↔ ∀𝑏𝐵 (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏)))
4713, 46anbi12d 743 . 2 ((𝜑𝑎𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑎 𝑏 ∧ ∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑎 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏))))
48 vex 3176 . . . . . 6 𝑎 ∈ V
49 vex 3176 . . . . . 6 𝑏 ∈ V
5048, 49brcnv 5227 . . . . 5 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑎)
5150notbii 309 . . . 4 𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 < 𝑎)
5251ralbii 2963 . . 3 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑎)
5349, 48brcnv 5227 . . . . 5 (𝑏 < 𝑎𝑎 < 𝑏)
54 vex 3176 . . . . . . 7 𝑑 ∈ V
5549, 54brcnv 5227 . . . . . 6 (𝑏 < 𝑑𝑑 < 𝑏)
5655rexbii 3023 . . . . 5 (∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑 ↔ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏)
5753, 56imbi12i 339 . . . 4 ((𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏))
5857ralbii 2963 . . 3 (∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ ∀𝑏𝐵 (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏))
5952, 58anbi12i 729 . 2 ((∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑎 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏)))
6047, 59syl6bbr 277 1 ((𝜑𝑎𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑎 𝑏 ∧ ∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  ltcplt 16764  Tosetctos 16856 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-toset 16857 This theorem is referenced by:  tosglb  29001  xrsclat  29011
 Copyright terms: Public domain W3C validator