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Theorem tosglblem 26130
Description: Lemma for tosglb 26131 and xrsclat 26141. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.) (Revised by NM, 15-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
tosglb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
tosglb.l  |-  .<  =  ( lt `  K )
tosglb.1  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
tosglb.2  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
tosglb.e  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
tosglblem  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( A. b  e.  A  a  .<_  b  /\  A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  c  .<_  b  ->  c  .<_  a ) )  <->  ( A. b  e.  A  -.  a `'  .<  b  /\  A. b  e.  B  ( b `'  .<  a  ->  E. d  e.  A  b `'  .<  d ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c, d,  .<    A, a, b, c, d    B, a, b, c, d    K, a, b, c    ph, a,
b, c
Allowed substitution hints:    ph( d)    K( d)   
.<_ ( a, b, c, d)

Proof of Theorem tosglblem
StepHypRef Expression
1 tosglb.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
21ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  K  e. Toset )
3 tosglb.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
43adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  A  C_  B )
54sselda 3356 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  B )
6 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  a  e.  B )
7 tosglb.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 tosglb.e . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 tosglb.l . . . . . . 7  |-  .<  =  ( lt `  K )
107, 8, 9tltnle 26123 . . . . . 6  |-  ( ( K  e. Toset  /\  b  e.  B  /\  a  e.  B )  ->  (
b  .<  a  <->  -.  a  .<_  b ) )
112, 5, 6, 10syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  (
b  .<  a  <->  -.  a  .<_  b ) )
1211con2bid 329 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  (
a  .<_  b  <->  -.  b  .<  a ) )
1312ralbidva 2731 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  A  a  .<_  b  <->  A. b  e.  A  -.  b  .<  a ) )
14 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  ph )
15 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  c  e.  B )
1614, 3syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  A  C_  B )
17 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  A )
1816, 17sseldd 3357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  B )
197, 8, 9tltnle 26123 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e. Toset  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B )  ->  (
b  .<  c  <->  -.  c  .<_  b ) )
201, 19syl3an1 1251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  ->  ( b  .<  c  <->  -.  c  .<_  b ) )
21203com23 1193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  b  e.  B
)  ->  ( b  .<  c  <->  -.  c  .<_  b ) )
22213expa 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
b  .<  c  <->  -.  c  .<_  b ) )
2322con2bid 329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
c  .<_  b  <->  -.  b  .<  c ) )
2414, 15, 18, 23syl21anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  (
c  .<_  b  <->  -.  b  .<  c ) )
2524ralbidva 2731 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B )  ->  ( A. b  e.  A  c  .<_  b  <->  A. b  e.  A  -.  b  .<  c ) )
26 breq1 4295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  d  ->  (
b  .<  c  <->  d  .<  c ) )
2726notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  d  ->  ( -.  b  .<  c  <->  -.  d  .<  c ) )
2827cbvralv 2947 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. b  e.  A  -.  b  .<  c  <->  A. d  e.  A  -.  d  .<  c )
29 ralnex 2725 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. d  e.  A  -.  d  .<  c  <->  -.  E. d  e.  A  d  .<  c )
3028, 29bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b  e.  A  -.  b  .<  c  <->  -.  E. d  e.  A  d  .<  c )
3125, 30syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B )  ->  ( A. b  e.  A  c  .<_  b  <->  -.  E. d  e.  A  d  .<  c ) )
3231adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  ( A. b  e.  A  c  .<_  b  <->  -.  E. d  e.  A  d  .<  c ) )
331ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  K  e. Toset )
34 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  a  e.  B )
35 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  c  e.  B )
367, 8, 9tltnle 26123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e. Toset  /\  a  e.  B  /\  c  e.  B )  ->  (
a  .<  c  <->  -.  c  .<_  a ) )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
a  .<  c  <->  -.  c  .<_  a ) )
3837con2bid 329 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
c  .<_  a  <->  -.  a  .<  c ) )
3932, 38imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
( A. b  e.  A  c  .<_  b  -> 
c  .<_  a )  <->  ( -.  E. d  e.  A  d 
.<  c  ->  -.  a  .<  c ) ) )
40 con34b 292 . . . . . 6  |-  ( ( a  .<  c  ->  E. d  e.  A  d 
.<  c )  <->  ( -.  E. d  e.  A  d 
.<  c  ->  -.  a  .<  c ) )
4139, 40syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
( A. b  e.  A  c  .<_  b  -> 
c  .<_  a )  <->  ( a  .<  c  ->  E. d  e.  A  d  .<  c ) ) )
4241ralbidva 2731 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  c  .<_  b  ->  c  .<_  a )  <->  A. c  e.  B  ( a  .<  c  ->  E. d  e.  A  d  .<  c ) ) )
43 breq2 4296 . . . . . 6  |-  ( b  =  c  ->  (
a  .<  b  <->  a  .<  c ) )
44 breq2 4296 . . . . . . 7  |-  ( b  =  c  ->  (
d  .<  b  <->  d  .<  c ) )
4544rexbidv 2736 . . . . . 6  |-  ( b  =  c  ->  ( E. d  e.  A  d  .<  b  <->  E. d  e.  A  d  .<  c ) )
4643, 45imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( b  =  c  ->  (
( a  .<  b  ->  E. d  e.  A  d  .<  b )  <->  ( a  .<  c  ->  E. d  e.  A  d  .<  c ) ) )
4746cbvralv 2947 . . . 4  |-  ( A. b  e.  B  (
a  .<  b  ->  E. d  e.  A  d  .<  b )  <->  A. c  e.  B  ( a  .<  c  ->  E. d  e.  A  d  .<  c ) )
4842, 47syl6bbr 263 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  c  .<_  b  ->  c  .<_  a )  <->  A. b  e.  B  ( a  .<  b  ->  E. d  e.  A  d  .<  b ) ) )
4913, 48anbi12d 710 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( A. b  e.  A  a  .<_  b  /\  A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  c  .<_  b  ->  c  .<_  a ) )  <->  ( A. b  e.  A  -.  b  .<  a  /\  A. b  e.  B  (
a  .<  b  ->  E. d  e.  A  d  .<  b ) ) ) )
50 vex 2975 . . . . . 6  |-  a  e. 
_V
51 vex 2975 . . . . . 6  |-  b  e. 
_V
52 brcnvg 5020 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  _V  /\  b  e.  _V )  ->  ( a `'  .<  b  <-> 
b  .<  a ) )
5350, 51, 52mp2an 672 . . . . 5  |-  ( a `'  .<  b  <->  b  .<  a )
5453notbii 296 . . . 4  |-  ( -.  a `'  .<  b  <->  -.  b  .<  a )
5554ralbii 2739 . . 3  |-  ( A. b  e.  A  -.  a `'  .<  b  <->  A. b  e.  A  -.  b  .<  a )
56 brcnvg 5020 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  _V  /\  a  e.  _V )  ->  ( b `'  .<  a  <-> 
a  .<  b ) )
5751, 50, 56mp2an 672 . . . . 5  |-  ( b `'  .<  a  <->  a  .<  b )
58 vex 2975 . . . . . . 7  |-  d  e. 
_V
59 brcnvg 5020 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  _V  /\  d  e.  _V )  ->  ( b `'  .<  d  <-> 
d  .<  b ) )
6051, 58, 59mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( b `'  .<  d  <->  d  .<  b )
6160rexbii 2740 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  A  b `'  .<  d  <->  E. d  e.  A  d  .<  b )
6257, 61imbi12i 326 . . . 4  |-  ( ( b `'  .<  a  ->  E. d  e.  A  b `'  .<  d )  <-> 
( a  .<  b  ->  E. d  e.  A  d  .<  b ) )
6362ralbii 2739 . . 3  |-  ( A. b  e.  B  (
b `'  .<  a  ->  E. d  e.  A  b `'  .<  d )  <->  A. b  e.  B  ( a  .<  b  ->  E. d  e.  A  d  .<  b ) )
6455, 63anbi12i 697 . 2  |-  ( ( A. b  e.  A  -.  a `'  .<  b  /\  A. b  e.  B  ( b `'  .<  a  ->  E. d  e.  A  b `'  .<  d ) )  <->  ( A. b  e.  A  -.  b  .<  a  /\  A. b  e.  B  ( a  .<  b  ->  E. d  e.  A  d  .<  b ) ) )
6549, 64syl6bbr 263 1  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( A. b  e.  A  a  .<_  b  /\  A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  c  .<_  b  ->  c  .<_  a ) )  <->  ( A. b  e.  A  -.  a `'  .<  b  /\  A. b  e.  B  ( b `'  .<  a  ->  E. d  e.  A  b `'  .<  d ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   class class class wbr 4292   `'ccnv 4839   ` cfv 5418   Basecbs 14174   lecple 14245   ltcplt 15111  Tosetctos 15203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fv 5426  df-poset 15116  df-plt 15128  df-toset 15204
This theorem is referenced by:  tosglb  26131  xrsclat  26141
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