Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relin01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relin01 10431
 Description: An interval law for less than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
relin01 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem relin01
StepHypRef Expression
1 1re 9918 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 letric 10016 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
31, 2mpan2 703 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
4 0re 9919 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
5 letric 10016 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
64, 5mpan2 703 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
7 pm3.21 463 . . . . . 6 (𝐴 ≤ 1 → (0 ≤ 𝐴 → (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)))
87orim2d 881 . . . . 5 (𝐴 ≤ 1 → ((𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))))
96, 8syl5com 31 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))))
109orim1d 880 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴) → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴)))
113, 10mpd 15 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
12 df-3or 1032 . 2 ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
1311, 12sylibr 223 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   ≤ cle 9954 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959 This theorem is referenced by:  colinearalglem4  25589
 Copyright terms: Public domain W3C validator