Theorem reldmopsr 19294

Description: Lemma for ordered power series. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmopsr	⊢ Rel dom ordPwSer

Proof of Theorem reldmopsr

Dummy variables 𝑟 𝑖 𝑝 𝑠 ℎ 𝑑 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-opsr 19181	. 2 ⊢ ordPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ (𝑟 ∈ 𝒫 (𝑖 × 𝑖) ↦ ⦋(𝑖 mPwSer 𝑠) / 𝑝⦌(𝑝 sSet ⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (Base‘𝑝) ∧ ([{ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑]∃𝑧 ∈ 𝑑 ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑠)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑑 (𝑤(𝑟 <bag 𝑖)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))}⟩)))
2	1	reldmmpt2 6669	1 ⊢ Rel dom ordPwSer

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  [wsbc 3402  ⦋csb 3499   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  {copab 4642   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038   “ cima 5041  Rel wrel 5043  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Basecbs 15695  lecple 15775  ltcplt 16764   mPwSer cmps 19172   <_bag cltb 19175   ordPwSer copws 19176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-rel 5045  df-dm 5048  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-opsr 19181

This theorem is referenced by:  opsrle  19296  opsrbaslem  19298  opsrbaslemOLD  19299  psr1val  19377