Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmod6i1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmod6i1 34343
Description: Modular law for hyperplanes analogous to complement of atmod2i1 34165 for atoms. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmod.l = (le‘𝐾)
lhpmod.j = (join‘𝐾)
lhpmod.m = (meet‘𝐾)
lhpmod.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpmod6i1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝑋 (𝑌 𝑊)) = ((𝑋 𝑌) 𝑊))

Proof of Theorem lhpmod6i1
StepHypRef Expression
1 simp1l 1078 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1079 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝑊𝐻)
3 eqid 2610 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4 eqid 2610 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5 lhpmod.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
63, 4, 5lhpocat 34321 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
71, 2, 6syl2anc 691 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
8 hlop 33667 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
91, 8syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝐾 ∈ OP)
10 simp2l 1080 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝑋𝐵)
11 lhpmod.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
1211, 3opoccl 33499 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
139, 10, 12syl2anc 691 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
14 simp2r 1081 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝑌𝐵)
1511, 3opoccl 33499 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
169, 14, 15syl2anc 691 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
17 simp3 1056 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝑋 𝑊)
1811, 5lhpbase 34302 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
192, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝑊𝐵)
20 lhpmod.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
2111, 20, 3oplecon3b 33505 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
229, 10, 19, 21syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝑋 𝑊 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
2317, 22mpbid 221 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑋))
24 lhpmod.j . . . 4 = (join‘𝐾)
25 lhpmod.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
2611, 20, 24, 25, 4atmod2i1 34165 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑋)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
271, 7, 13, 16, 23, 26syl131anc 1331 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
28 hllat 33668 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
291, 28syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝐾 ∈ Lat)
3011, 25latmcl 16875 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑊𝐵) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
3129, 14, 19, 30syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
3211, 24latjcl 16874 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑋 (𝑌 𝑊)) ∈ 𝐵)
3329, 10, 31, 32syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝑋 (𝑌 𝑊)) ∈ 𝐵)
3411, 24latjcl 16874 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
3529, 10, 14, 34syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
3611, 25latmcl 16875 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑊) ∈ 𝐵)
3729, 35, 19, 36syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((𝑋 𝑌) 𝑊) ∈ 𝐵)
3811, 3opcon3b 33501 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 (𝑌 𝑊)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑊) ∈ 𝐵) → ((𝑋 (𝑌 𝑊)) = ((𝑋 𝑌) 𝑊) ↔ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) 𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑌 𝑊)))))
399, 33, 37, 38syl3anc 1318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((𝑋 (𝑌 𝑊)) = ((𝑋 𝑌) 𝑊) ↔ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) 𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑌 𝑊)))))
40 hlol 33666 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
411, 40syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝐾 ∈ OL)
4211, 24, 25, 3oldmm1 33522 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
4341, 35, 19, 42syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
4411, 24, 25, 3oldmj1 33526 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
4541, 10, 14, 44syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
4645oveq1d 6564 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
4743, 46eqtrd 2644 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) 𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
4811, 24, 25, 3oldmj1 33526 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑌 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘(𝑌 𝑊))))
4941, 10, 31, 48syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑌 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘(𝑌 𝑊))))
5011, 24, 25, 3oldmm1 33522 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌𝐵𝑊𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
5141, 14, 19, 50syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
5251oveq2d 6565 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘(𝑌 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
5349, 52eqtrd 2644 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑌 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
5447, 53eqeq12d 2625 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) 𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑌 𝑊))) ↔ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))
5539, 54bitrd 267 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((𝑋 (𝑌 𝑊)) = ((𝑋 𝑌) 𝑊) ↔ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))
5627, 55mpbird 246 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝑋 (𝑌 𝑊)) = ((𝑋 𝑌) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  occoc 15776  joincjn 16767  meetcmee 16768  Latclat 16868  OPcops 33477  OLcol 33479  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292
This theorem is referenced by:  lhple  34346  trlcolem  35032
  Copyright terms: Public domain W3C validator