Theorem iunmapdisj 8729

Description: The union ∪ 𝑛 ∈ 𝐶(𝐴 ↑_𝑚 𝑛) is a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
iunmapdisj	⊢ ∃*𝑛 ∈ 𝐶 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛)

Distinct variable group:   𝐵,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐶(𝑛)

Proof of Theorem iunmapdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		moeq 3349	. . . 4 ⊢ ∃*𝑛 𝑛 = dom 𝐵
2		elmapi 7765	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛) → 𝐵:𝑛⟶𝐴)
3		fdm 5964	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵:𝑛⟶𝐴 → dom 𝐵 = 𝑛)
4	3	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (𝐵:𝑛⟶𝐴 → 𝑛 = dom 𝐵)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛) → 𝑛 = dom 𝐵)
6	5	moimi 2508	. . . 4 ⊢ (∃*𝑛 𝑛 = dom 𝐵 → ∃*𝑛 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛))
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃*𝑛 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛)
8	7	moani 2513	. 2 ⊢ ∃*𝑛(𝑛 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛))
9		df-rmo 2904	. 2 ⊢ (∃*𝑛 ∈ 𝐶 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛) ↔ ∃*𝑛(𝑛 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛)))
10	8, 9	mpbir 220	1 ⊢ ∃*𝑛 ∈ 𝐶 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛)

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃*wmo 2459  ∃*wrmo 2899  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746

This theorem is referenced by: (None)