HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hial0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hial0 27343
Description: A vector whose inner product is always zero is zero. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hial0 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem hial0
StepHypRef Expression
1 oveq2 6557 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐴 ·ih 𝐴))
21eqeq1d 2612 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
32rspcv 3278 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
4 his6 27340 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
53, 4sylibd 228 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 → 𝐴 = 0))
6 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ih 𝑥) = (0 ·ih 𝑥))
7 hi01 27337 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝑥) = 0)
86, 7sylan9eq 2664 . . . . 5 ((𝐴 = 0𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)
98ex 449 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0))
109a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)))
1110ralrimdv 2951 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0))
125, 11impbid 201 1 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  (class class class)co 6549  0cc0 9815  chil 27160   ·ih csp 27163  0c0v 27165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-hv0cl 27244  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his3 27325  ax-his4 27326
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958
This theorem is referenced by:  choc1  27570  ho01i  28071  ho02i  28072
  Copyright terms: Public domain W3C validator