MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  haust1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem haust1 20966
Description: A Hausdorff space is a T1 space. (Contributed by FL, 11-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
haust1 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)

Proof of Theorem haust1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
21hausnei 20942 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) → ∃𝑧𝐽𝑤𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))
3 simprr1 1102 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → 𝑥𝑧)
4 noel 3878 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 𝑦 ∈ ∅
5 simprr3 1104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → (𝑧𝑤) = ∅)
65eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → (𝑦 ∈ (𝑧𝑤) ↔ 𝑦 ∈ ∅))
74, 6mtbiri 316 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑧𝑤))
8 simprr2 1103 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → 𝑦𝑤)
9 elin 3758 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝑧𝑤) ↔ (𝑦𝑧𝑦𝑤))
109simplbi2com 655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑤 → (𝑦𝑧𝑦 ∈ (𝑧𝑤)))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ (𝑧𝑤)))
127, 11mtod 188 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → ¬ 𝑦𝑧)
133, 12jca 553 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → (𝑥𝑧 ∧ ¬ 𝑦𝑧))
1413rexlimdvaa 3014 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) → (∃𝑤𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅) → (𝑥𝑧 ∧ ¬ 𝑦𝑧)))
1514reximdva 3000 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) → (∃𝑧𝐽𝑤𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑧𝐽 (𝑥𝑧 ∧ ¬ 𝑦𝑧)))
162, 15mpd 15 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) → ∃𝑧𝐽 (𝑥𝑧 ∧ ¬ 𝑦𝑧))
17 rexanali 2981 . . . . . . 7 (∃𝑧𝐽 (𝑥𝑧 ∧ ¬ 𝑦𝑧) ↔ ¬ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧))
1816, 17sylib 207 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) → ¬ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧))
19183exp2 1277 . . . . 5 (𝐽 ∈ Haus → (𝑥 𝐽 → (𝑦 𝐽 → (𝑥𝑦 → ¬ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧)))))
2019imp32 448 . . . 4 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑥𝑦 → ¬ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧)))
2120necon4ad 2801 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
2221ralrimivva 2954 . 2 (𝐽 ∈ Haus → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
23 haustop 20945 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
241toptopon 20548 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
2523, 24sylib 207 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
26 ist1-2 20961 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝐽 ∈ Fre ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
2725, 26syl 17 . 2 (𝐽 ∈ Haus → (𝐽 ∈ Fre ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
2822, 27mpbird 246 1 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  cin 3539  c0 3874   cuni 4372  cfv 5804  Topctop 20517  TopOnctopon 20518  Frect1 20921  Hauscha 20922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-topgen 15927  df-top 20521  df-topon 20523  df-cld 20633  df-t1 20928  df-haus 20929
This theorem is referenced by:  sncld  20985  ishaus3  21436  reghaus  21438  nrmhaus  21439  tgpt1  21731  metreg  22474  ipasslem8  27076  sitmcl  29740  onint1  31618  oninhaus  31619  poimirlem30  32609
  Copyright terms: Public domain W3C validator